幂函数及其性质讲义.docVIP

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课 题 幂函数及其性质 教学目标 理解幂函数的概念及解析式的结构特征 理解幂函数的图像性质 重点、难点 幂函数性质及其应用 考点及考试要求 幂函数的图像和性质以及性质的应用 教学内容 知识框架 考点：幂函数的概念和性质 典型例题 例1．已知函数，当 为何值时，： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）或（2）（3）（4）（5） 变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解：解得： 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2．比较大小： （1） （2）（3）（4） 解在上是增函数，，∴ （2）∵在上是增函数，，∴ （3）∵在上是减函数，，∴； ∵是增函数，，∴； 综上， （4）∵，，， ∴ 例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值． 解（）的图象与轴、轴都无交点， ∴，∴； ∵，∴，又函数图象关于原点对称， ∴是奇数，∴或． 例4、设函数f（x）＝x3， 　　（1）求它的反函数； 　　（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围． 　　解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x． 　　（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 　　∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0； 　　在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 　　f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1； 　　f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0． 点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域． 　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 　　当t＝－1时，ymin＝3． 　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）． 知识概括、方法总结与易错点分析 一、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1） （2） （3） （4） （5） 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增减性 定点（公共点） 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R； 过点（1，0），即当=1，=0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，、、、是增函数， 在（0，+∞）上， 是减函数。 针对性练习 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 2. 下列函数在上为减函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 3. 下列幂函数中定义域为的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　） 　A．{x|x≠0或x≠2}　 B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］　 D．（0，2） 5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　） 　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1） C．（0，1）　　　　 D．［0，1］ 6．函数y＝的单调递减区间为（　　） 　　A．（－∞，1）　　　　B．（－∞，0） C．［0，＋∞］　　　　　D．（－∞，＋∞） 　 7．若a＜a，则a的取值范围是（　　） 　 8．函数y＝的定义域是 。 9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________． 1