交大附中2013届高一数学2-一元二次方程根与系数的关系.docVIP

交大附中2013届高一暑假数学作业 《一元二次方程根与系数的关系》 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根．：，∴ 原方程有两个相等的实数根．：，∴ 原方程没有实数根．的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；；． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 已知实数、满足，试求、的值． 解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得： 由于是实数，所以上述方程有实数根，因此： ， 代入原方程得：． 综上知： 二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”． 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，时，．得知： ①当时，； ②当时，，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足． 已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 解：(1) 假设存在实数，使成立． ∵ 一元二次方程的两个实数根 ∴ ，是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在实数，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，能被4整除，，， 要使的值为整数的实数的整数值为． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法． 已知实数、、满足及，求的值。 解：以为根的二次方程，其中 所以 ，代入求得 则 1 巩固练习 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )B A． B． C． D． 若是方程的两个根，则的值为( )A A． B． C． D． 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )A A． B． C． D． 若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A A． B． C． D．大小关系不能确定 关于x、y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ） A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组 解 可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y2-29）=0 由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数 由△=y2-4(2y2-29)= -7y2+116≥0解得y2≤≈16.57 y2 0 1 4 9 16 △ 116 109 88 53 4 显然只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求 当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=-1，x2=-3 当y=-4时，原方程为x2-4x+3=0，此时x3=1，x4=3 所以，原方程的整数解为 选C 若实数，且满足，