2010年数学备考系列讲座(四)(学生版).docVIP

2010年数学备考系列讲座 (四) 强化反思，提升能力 坚持能力要求，提高数学素养。高考的要求，毕竟不同于书本后的习题练习，考的更是平常积累的知识和能力。在数学能力的要求中，空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、逻辑思维等能力都是要在日常的学习中必须注意的基本能力，也要关注阅读理解能力、数学表达能力的培养。强化解题的反思，总结解题思路，发现解题规律，提高分析问题与解决问题的能力。 一、立体几何中的探索性问题 立体几何的探索性问题是近几年来高考中常常出现的新题型，而这类问题尤以存在型问题居多.这类问题常以“是否存在”、“是否有”、“是否可能”等语句出现，以示结论有待判断.“存在型”问题是较典型的开放性的问题，学生往往不会探究，下面试举数例说明立体几何中存在型问题的常见探索途径，暴露其思维轨迹，以期发现此类问题的解题规律，培养同学们的空间想象能力和数学探索能力. （一）垂直条件的探求 　 例１ 四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，当的值等于多少时，能使?并给出证明. 评注：探索具备什么就有垂直或平行这一类问题，往往是找出命题成立的必要条件，再证明充分性，本题采用的就是这种方法. 例２　(2000年全国高考题)如图，已知平行六面体的底面是菱形，且则当的值为多少时，能使平面？请给出 分析：可以通过建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，探求出比值. 其实，也可不必建立坐标系，只要通过空间向量基本定理可获结果. 评注：通过设出三个不共面的非零向量，将其它向量用这三个不共面的向量表示，然后执果索因，探求到只要有，就有题中的线面垂直.这是立体几何中探究问题的常用探究途径.从上面的解题过程，可以发现本题中的条件“”，可以减弱为“”，而不必都等于，实际上只要这三个角相等即可. （二）平行条件的探求 例3　如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°, 在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由. 分析：　要使BP//平面DA1C1，只要有BP平行于平面DA1C1内的某一条直线即可，还是由要达到线面平行，根据线面平行的判定定理，只要具备了判定定理的条件，必然有线面平行的结论.注意到直线BP在平面BCC1B1内，只要有BP平行于A1D即可. 解法一（传统方法） 分析：只要在C1C上找一点Ｐ，使得向量与平面的法向量垂直即可. 解法二（向量法） 分析：只要在C1C上找一点Ｐ，使得向量可以用平面DA1C1内的两个不共线的向量线性表示出来，即向量与平面DA1C1内的两个不共线向量共面，而直线BP不在DA1C1内，所以问题得证. 解法三（向量法）： 评注：探究直线与平面平行的条件，常据线面平行判定的四种方法，一是通过线线平行证线面平行，二是通过面面平行证线面平行，三是证直线的方向向量与平面的法向量垂直，四是证直线的方向向量可以表示为平面内的两个不共线向量的线性组合. 本题就是根据上述四种方法，去探求P点具备方法一、方法三、方法四中的条件，进而找到p点的位置. 练一练 在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且． （1）求证： 平面； （2）试在上找一点，使得平面． 二、解析几何中的常见问题 1.圆锥曲线定义的运用 例4（1）已知点F为双曲线的右焦点，M是双曲线右支上一动点，定点A的坐标是(5,4)，则4|MF|－5|MA|的最大值为　 　. (2)设为椭圆的左右两个焦点，为椭圆上异于长轴两端点的任意一点，过作的平分线的垂线，垂足为，则的取值范围为_____________. 2.基本量的值（范围）的计算 例5 (1)设点分别为椭圆的左，右两焦点，直线为右准线．若在椭圆上存在点，使，，点到直线的距离成等比数列，则此椭圆离心率的取值范围是 (2)设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 . 3.求曲线方程 例6 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2. （1）求⊙C的方程； （2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程. 4.曲线性质的研究 例7 （1）椭圆C：（ab0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、 PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值． （2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：（a0，b0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过