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浙江师范大学《复变函数》（期末考试）试卷 （2004-2005学年第一学期） 考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月25日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理. 一、（18%）填空题 在内，函数的罗朗展式是 ① . 解析分支在处的留数是 ② . 问是否存在解析函数使 ？ ③ （只需回答是或否）. 若解析函数的实部是，则 ④ . 已知分式线性函数把上半平面变为单位圆，则 ⑤ . 的值是 ⑥ . 二、（24%）计算题 1、若以上半虚轴为割线，确定的一个解析分支 .并且分别求出在上半虚轴的左沿和右沿，当时的值. 2、计算积分 ，（为常数，且）. 三、（36%）解答题 1、求的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型. 2、在平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成平面的上半平面（不包括实轴）. 3、试作一个解析函数，它把上半平面保形双射成平面的半带域 ， . 四、（22%）证明题 1、若，，则 . 2、若在内，解析，并且， 则 . 浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考 05.1.17 一、填空题（每空格3分，共18分） ① ② ③否 ④ ⑤ ⑥ 二、（24%）计算题 1、若以上半虚轴为割线，确定的一个解析分支 .并且分别求出在上半虚轴的左沿和右沿，当时的值. 解 （6分） 令 （8分） 则在上半虚轴的右沿，当时， 在上半虚轴的左沿，当时， （12分） 2、计算积分 ，（为常数，且）. 解因，故为多值函数， 取正实轴为割线且单值解析分支（4分） （如图）设，则 由知 （8分） 由知 故 （12分） 三、（36%）解答题 1、求的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型. 解因和是支点，故和不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为和，故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支 ， （6分） 当时，是可去奇点 当时，是一阶极点 是一阶极点 （12分） 2、在平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成平面的上半平面（不包括实轴）. 解 （1）若区域表示在平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则将区域变为平面除去正实轴的开区域（6分） （2）将变为平面的上半平面 因此即为所求 （12分） 3、试作一个解析函数，它把上半平面保形双射成平面的半带域 ， . 解 由多角形映射公式知 由知 因，故由知 所以 （6分） 因此 于是即为所求. （12分） 四、（22%）证明题 1、若，，则 . 证法1 因，，故 即，即 （6分） 因此 即，同理 ， （11分） 证法2 由平行四边形公式 知， ，而， （6分） 因此，， 同理 ， （11分） 2、若在内，解析，并且， 则 证 因 （3分） 故 （6分） （8分） （11分）