线性代数第一章1.1.pptVIP

主讲：祝颖莲 Tel课程的地位和作用 ★线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。 ★该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。 ★线性代数（Linear Algebra）是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。 第1章 行列式 §1.1 n阶行列式的定义 §1.1.1 二、三阶行列式定义 用消元法求解二元一次线性方程组 （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 时有 （2） 由方程组的四个系数确定. 称记号 为二阶行列式。 定义1.1 主对角线 副对角线 行标 列标 称记号 为二阶行列式。 主对角线 副对角线 行标 列标 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 记 则二元线性方程组的解为 二元一次线性方程组 今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？ 例1 解：牛羊分别直 金，记 定义1.2 为三阶行列式. 称记号 2)沙路法 三阶行列式的计算 1)对角线法则 以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式. 解 例2 求行列式 解 例3 求解方程 所以 若系数行列式 应用:三元线性方程组 则 例4 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式为 且 同理可得 故方程组的解为: §1.1.2 排列及其逆序数 一、排列与逆序 1、排列 ｎ级排列共有　种 如： 记作： ２级排列共有２种： ３级排列共有６种： 其中 分别为 数中的某一数，且互不相等。 　　由数 组成的一个有序数组称为一个ｎ级（阶、元）排列. 例 排列32514中， 　　我们规定ｎ个不同的自然数，按由小到大次序组成的排列，称为n级标准排列. 2、逆序数 定义 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 逆序 逆序 在一个排列中，若某两个数的先后次序与标准 排列不同，则称这两个数组成一个逆序。 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3、排列的奇偶性 4、数的逆序数 定义 一般地,n级排列 中, 前面比它大的数的个数称为 的逆序数,记作 n级排列 中, 5、排列的逆序数的计算 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 解： 0 1 2 2） 例1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 1） ２１７９８６３５４ 解： 故此排列为偶排列. 2 1 7 9 8 6 3 5 4 5 0 1 3 0 4 4 0 1 计算排列的逆序数，并讨论奇偶性. 分析 当 为奇数时，该排列为奇排列. 当 为偶数时，该排列为偶排列； 特别：将相邻两个数对换称为相邻对换. 1、定义 二、对换 　　将一个排列中某两个数的位置对调，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样的变换为对换. 例 1） 2） 2、对换与排列的奇偶性的关系 定理1　任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性。 证明：设排列为 1） 易见除 外，其它元素的逆序数不改变， 若 对换 对换后 的逆序数不变，而 的逆序数减1； 若 对换后 的逆序数增1，而 的逆序数不变. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。 设排列为 2） 对换 次相邻对换 所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 次相邻对换 欲 即 次相邻对换 推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其中奇、偶排列各占一半. 证明: 设共有ｓ个奇排列,ｔ个偶排列，现证ｓ＝ｔ. 故必有 奇排列 偶排列 所以 前两个数对换 ｓ个 ｓ个 偶排列 奇排列 所以 前两个数对换 ｔ个 ｔ个 例2 选择i与j,使1i25j4897为偶排列 2. 排列具有奇偶性. 3. 一次对换，排列改变奇偶性. 1. ｎ个不同的元素的所有排列种数为ｎ! 三、小结 作业 p5 ex1