6.4基和维数(一).pptVIP

第6章 向量空间 6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 * 数学与计算机科学学院高等代数课件 * * 6.4 基和维数 一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间 6.4.3 向量空间的维数 二、教学目的 三、重点 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 基和维数的概念及求法、维数定理． 3．了解子空间的和、直和、余子空间． 四、难点 子空间的直和、余子空间． 6.4.1 生成子空间 1、设V是数域F上向量空间， 是V 中r个向量，设 则W构成V的一个子空间。 3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生成子空间。 L( ) 即L( ) 或L( ) L( ) L( )是什么？ L( )=F3 也有L( )=Fn L( ) L( )就是数域F上一切次数不超过 n的多项式连同零多项式构成的子空间 。 4、几点注意 (1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法； (3)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限； 只有L(0)={0}所含向量个数是有限的； (2)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的； (4)等价的向量组生成相同的子空间。 从而有L( ) =L( ) =L( ) 启示：对有限生成的子空间，生成元可以精简。 问题：怎样的一组生成元所含的向量个数最少？ 5、定理6.4.1 设 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组。那么 根据这个定理,如果有限生成子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关的生成元生成。 一个向量空间本身也可能由其中有限个线性无关的向量生成。 根据这个定理,如果有限生成子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关的生成元生成。 6.4.2 向量空间的基 （1） 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 线性表示。 1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在V中存在一组向量 满足： 例5、任意两个不共线的向量都构成V2的一个基； 任意三个不共面的向量都构成V3的一个基； 4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就是生成元组的一个极大无关组。 问：是否每个向量空间都有基？ 5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价的，并且所含向量个数相同。 6.4.3 向量空间的维数 1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫做V的维数。记作dimV。 零空间的维数定义0。 但是，F[x]作为F上一个向量空间，不是有限生成的，它自然也不能由有限个线性无关的向量生成。 我们说，F[x]是无限维的。 我们只研究有限维向量空间。 2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一定线性相关。 3、定理6.4.4 设 是n维向量空间Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r 个向量 ，使得 作成Ｖ的一个基。特别地，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基。 证法一、替换定理（见P232） 证法二、扩充法 4、定理6.4.5 设Ｗ?和Ｗ?都是数域Ｆ上向量空间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ?＋Ｗ?也是有限维的，并且 dim（Ｗ?＋Ｗ?） ＝dimＷ?＋dimＷ?－dim（Ｗ?∩Ｗ?） 维数公式 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间 1、子空间的和