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一元微分总结 一 导数与微分 1 导数 定义1 设函数在点的一个邻域有定义, 如果 存在, 则称其为在点的导数. 记作. 等价写法: 方法 导数是一种特殊形式的极限. 因此, 极限的各种结果适用. 在一点可导与在一个区间内可导. 导函数. 方法 导函数是一个函数. 因此, 可以研究它的各种性质. 2 单侧导数 左导数与右导数. 定理1 函数在一点可导的充分必要条件是: 它得左, 右导数存在且相等. 3 可导与连续 定理2 如果函数在一点可导, 则它在该点连续. 4 高阶导数 导函数的导数称为函数的二阶导数. 5 微分 定义2 设函数在点的一个邻域有定义, 如果存在与无关的数, 使得, 则称在点可微, 而称为函数在该点的微分. 定理3 函数在点可微的充分必要条件是: 它在该点可导. 且有 一阶微分形式不变性. 二 计算导数与微分 1 工具 导数定义: 求证：函数在点处可导，但导函数在该点不连续. 单侧导数: 求, 使得函数在点处可导. 四则运算: 设, 求和. 高阶导数: 求证: 函数满足. 设, 求. 设， 求. 反函数: 设, 求. 设, 求 复合函数: 设, 求与. 隐函数: 求由方程所确定的函数的导数. 求由方程所确定的函数的二阶导数. 参数方程: 计算由参数方程,所确定的函数的二阶导数. 设函数的极坐标方程为, 求. 微分: 设, 求. 设函数由方程确定, 求. 2 技巧 化积商为和差: 设, 求. 对数求导法: 求()的导数. 求的导数. 三 中值定理 1 罗尔定理 证明中值等式(导函数的根). 2 拉格朗日中值定理 1. 证明中值等式. 2. 证明不等式. 3. 证明恒等式(用推论). 方法 拉格朗日中值定理在函数及其导函数之间建立联系. 从导函数出发, 可以研究函数. 反之, 从函数出发也可以研究导函数. 3 柯西中值定理 证明中值等式: 4 洛必达法则 1. 商: . 2. 差：. . 3. 幂指函数：. 4. 数列极限: . . 5. 抽象函数：设函数在点二次可导, 且, 计算极限 . 已知, 求. 5 泰勒公式 近似计算. 四 函数的性质 1 单调性判定 单调函数: 判定函数的单调性. 函数的单调区间: 确定函数的单调区间. 证明题: 设函数在区间上连续, 在内可导. 且单调增加, 则函数在区间内单调增加. 2 凸凹性判定 凸函数: 判定函数的凸凹性. 函数的凸区间: 确定函数的凸凹区间. 证明题: 设函数二次可导, 且有, 求证: 函数是下凸函数. 3 拐点 1. 二阶导数条件: 求曲线的拐点. 4 极值 必要条件: 费马定理, 驻点. 一阶导数充分条件: 求函数的极值. 求函数的极值. 二阶导数充分条件: 求函数的极值. 证明题: 设函数满足, 则点是的极小值点. 5 最值 1. 闭区间候选点: 驻点, 不可导点, 端点. 求函数在区间上的最值. 2. 开区间用一阶导数充分条件: 求函数的最小值. 五 几何应用 1 切线与法线 显函数: 求函数在点处的法线方程. 隐函数: 求椭圆上点处的切线方程. 参数方程: 已知椭圆的参数方程,,, 求椭圆在点处的切线方程. 极坐标: 求曲线在点处的切线的直角坐标方程. (变成参数方程.) 在曲线上求点, 使得该点处的切线满足所给条件: 在椭圆上求点, 使得该点处的切线与直线平行. 求曲线通过点(5,11)的切线方程. 证明题: 曲线上任意一点处的切线在两坐标轴上的截距之和等于常数. 2 曲率 1. 显函数: 求抛物线上曲率的最大值. 六 等式与不等式 1 证明恒等式 1. 拉格朗日中值定理的推论: 求证: 当时, 有. 2 证明中值等式 1. 罗尔定理: 设函数在上连续, 在内可导, 且, 求证: 存在, 使得. (令.) 2. 拉格朗日中值定理: 设函数在区间上可导, 求证: 存在, 使得. 3. 柯西中值定理: 设函数在区间上连续, 在内可导, 其中, 则存在, 使得. 3 证明不等式 拉格朗日中值定理: 求证: 当时, 有. 单调性: 求证: 当时, . 最值: 求证: 当时, 有. 凸凹性: 求证: 当时, . 七 方程的根 1 存在性(下限) 1. 零点定理(函数): 求证: 方程在区间内至少有一个根. 2. 罗尔定理(导函数): 设, 求证: 方程在区间内至少有一个根. 设在上连续, 在内有二阶导数, 且, 令, 求证: 存在, 使得. (先证存在, 使得.) 2 唯一性(上限) 1. 单调性: 求证: 方程在