圆与椭圆常考题提升(必威体育精装版原创,特此贡献).docVIP

与圆有关的椭圆题的提升训练题 例1.若椭圆过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程； （Ⅲ）求的最大值与最小值. 解：（Ⅰ）由题意得： 所以椭圆的方程为 （Ⅱ）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在， 设直线PA的方程为：y-6=k(x-8) 又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为 即 可得 所以直线PA的方程为： (Ⅲ)设 则 则 例2.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为． (1) 若椭圆的离心率，求的方程； （2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程． 解：（1）当时，∵，∴， ∴，，点,，---------2分 设的方程为 由过点F,B,C得 ∴-----------------① -----------------② -------------------③----------------------------5分 由①②③联立解得，，-----------------------7分 ∴所求的的方程为-------------8分 （2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④----------------------9分 ∵BC的中点为， ∴BC的垂直平分线方程为-----⑤---------------------10分 由④⑤得，即----------------11分 ∵P在直线上，∴ ∵ ∴由得 ∴椭圆的方程为--------------------------------------------------------------14分 例3.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. 解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12－x22)+2(y12－y22)=0, 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－, 又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0, 于是－=－1,kAB=－1, 设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=. ∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1. 解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－. 直线l：y=x过AB的中点(),则, 解得k=0，或k=－1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. 直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。 故可设直线 ， ，，， ，， ，， ，，， ，， 则， ，， ， 所以所求的椭圆方程为： 例4.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为． （1）求圆的方程； （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解:(1) 设圆C 的圆心为 (m，n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 ， 右焦点为 F( 4，0) ； 假设存在Q点使， 整理得 代入 得: ， 因此不存在符合题意的Q点. 例5.已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M，N，若圆C的不圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A为圆C上的一点（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；