线性代数考研考点试题(下).docVIP

第四部分 线性方程组 一.线性方程组的四种表示形式 1.非齐次线性方程组 (1)一般形式: (2)矩阵形式:令,则,而 增广矩阵 (3)向量形式:令,得向量形式.其中为的列向量组. (4)内积形式:令,则内积形式.其中为的行向量组. 2.齐次线性方程组 (1)一般形式: (2)矩阵形式: (3)向量形式: (4)内积形式: 二.线性方程组解的性质 1.解的性质 (1)若为的解,则也为的解. (2)若为的解,则也为的解. 故是的一个子空间,其基础解系构成子空间的一个基. 2.解的性质 (1)设为的解,则为其导出组的解. (2)设为的解,为的解,则为的解. 【注意】若为的解,则都不是的解,故不是的一个子空间. 三.线性方程组解的理论及解的结构 1.解的理论及解的结构 定理1 至少有一个零解. (1)只有零解(未知量的个数).不存在基础解系; (2)有非零解.其基础解系含个线性无关的解向量,设为,则的通解为 其中为任意常数; (3)(Crammer定理) 只有零解. 2.解的理论及解的结构 定理2 可能有解. (1)有解; (2)有惟一解; (3)有无穷多解.设其导出组的基础解系为,为的一个特解,则的通解为 其中为任意常数; (4) (Crammer定理)有惟一解. 四.两个线性方程组解之间的关系 设方程组(1)的解集合为,方程组(2)的解集合为,则 1. 方程组(1)与方程组(2)同解; 2. 方程组(1)与方程组(2)的公共解; 3. 方程组(1)的解是方程组(2)的解. 五.一个非常有用的结论 1. ; 2. 的列向量是的解向量. 典型例题 一.解的概念、性质、理论、结构的基本题 例1 设无解,则与满足 . 解 由,得 . 例2 设三平面重合,则齐次线性方程组 的解空间的维数等于 2 . 解 的秩等于1. 例3 设为阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ). (A)若有解时也有解,则必可逆; (B)若有解时也有解, 则必可逆; (C) 的解必是的解; (D) 的解与的解无任何关系. 解 与同解. 例4 设,已知是的基础解系,则( D ). (A) 线性无关; (B) 线性无关; (C) 不能被线性表示; (D) 能被线性表示. 解 由知: ;由知: ,则能被线性表示,所以能被线性表示. 例5 设是的两个不同的解, 是的基础解系, ,则的通解必是( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 例6 设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且,,则的通解是( C ). (A) (B) (C) (D) 二.含参数的线性方程组解的讨论 例7 当为何值时,方程组无解,有惟一解,无穷多解?并在有无穷多解时求方程组的通解. 解 方法一:一般情形. (1)方程组有惟一解; (2)当时,,方程组无解; (3)当时,,方程组的解,令,则方程组的通解为任意常数. 方法二:特殊情形. . (1)当时,方程组有惟一解; (2)当时,,方程组无解; (3)当时,,,方程组有无穷多解,且通解为为任意常数. 三.与解的结构相关问题 例8 若阶矩阵的前个列向量线性相关,后个列向量线性无关, .证明: (1) 必有无穷多解; (2)若是的任一解,则. 证 (1) 线性无关,则线性无关,又线性相关,所以可由线性表示,则. 因为,则,所以必有无穷多解. (2) 线性相关,存在一组不全为零的数,使得 ,即, 又,则为的基础解系. 因为,则是的一个特解,故的通解为 . 若是的解,则. 例9 设为矩阵, 是去掉的第列所得阶矩阵的行列式,证明: (1)向量是的解向量; (2)当不全为零时,是的一个基础解系. 证 令,则分别为中第一行元素的余子式,而分别为中第一行元素的代数余子式,由行列式按行(或列)展开定理,有 , 则是的解向量. (2) 当不全为零时,则至少有一个子式不为零,所以,从而的基础解系含一个解向量,又,故是的一个基础解系. 例10 设非齐次线性方程组,其中为矩阵, ,求由的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组及该向量组的秩. 解 要点:设的一个基础解系为,的一个特解为,则的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组为该向量组的秩为. 例11 设为矩阵,证明: 有解的充分必要条件是对的任一解都有. 证 必要性:设,则; 充分性: 对的任一解都有,则与同解,所