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高二数学寒假作业答案 1. 已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。 （I）求函数的解析式； （II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值. 解（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……① 又，由已知得……② 联立①②，解得.所以函数的解析式为 （II）因为 21世纪教育网 令 当函数有极值时，则，方程有实数解， 由，得. ①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值 ②当时，有两个实数根情况如下表： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在时，函数有极值； 当时，有极大值；当时，有极小值； 2.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。 （1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。 解：(1)的定义域为。 （i）若即,则 故在单调增加。 (ii)若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 (iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数 则 由于1a5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 3.已知函数 (1)如，求的单调区间； (2)若在单调增加，在单调减少，证明6. 解：（Ⅰ）当时，，故 当当 从而单调减少. (Ⅱ) 由条件得：从而 因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 21世纪教育网 于是 4. 已知函数其中 当时，求曲线处的切线的斜率； 当时，求函数的单调区间与极值。 （I）解： （II） 以下分两种情况讨论。 （1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 5. 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数，讨论的单调性． 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 21世纪教育网 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令 （1）当 （2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 （3）方程有两个不相等实根 21世纪教育网 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数. 6. 设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 解：（Ⅰ）． 当（）时，，即； 当（）时，，即． 因此在每一个区间（）是增函数， 在每一个区间（）是减函数． （Ⅱ）令，则 ． 故当时，． 又，所以当时，，即． 当时，令，则． 故当时，．因此在上单调增加． 故当时，，即． 于是，当时，． 当时，有．因此，的取值范围是． 7. 已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 解：． 令，得． 当，即时，的变化情况如下表： 0 当，即时，的变化情况如下表： 0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减． 8. 已知是函数的一个极值点。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 解：（Ⅰ）因为 所以 因此 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ,当时，;当时， 所以的单调增区间是 的单调减区间是 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为 因此; 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当,因此，的取值范围为。 9.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． 若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； 如何取值时，函数存在零点，并求出零点． （1）设)，则； 又的图像与直线平行 ， 设则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 当时， 解得 （2）由)，得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若，，函数有两个零点；若，，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点当时 函数有一零点；()，或（）时， 函数有两个