(11-10-12) 第二章 矩阵.ppt

例如 2.3.3 应用一——矩阵的秩(Rank) 例1 解 例2 解 例3 解 计算A的3阶子式， 初等变换求矩阵秩的方法： (1) 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 令 ， 求A的秩。 解: ?r (A)=3 例5 解 分析： 利用初等变换求逆阵的方法： 2.3.4 应用二—求矩阵的逆矩阵 例1 令 求A的逆阵 解: 例2 令 求A的逆阵。 解: 解 例7 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 2.3 矩阵的初等变换及其应用 2.3.1 矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换(Elementary Transformation)． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 例1 特点： （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶 只有一行. 1.行阶梯形矩阵：每个非零行的第一个非零元素在上一行第一个非零元素的右侧；所有零行在矩阵底部。 例1 例1 等价关系的性质： ． 等价，记作 与 就称矩阵 ， 矩阵 经有限次初等变换变成 定义3如果矩阵 B A B A B A ~ 定理2.3 任何一个矩阵与其标准型等价。 定义4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 2.3.2 初等矩阵(Elementary Matrix) (1). Ri ? Rj : Ri Rj Ci Cj 例1 例2 (2). kRi Ri Ci 例3 例4 (3). Ri+kRj : Ci Cj Ri Rj 例5 例6 定理2.4 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 定理2.5 例7 例8 推论1 推论2 定理2.6 证 矛盾。 定理2.7 n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 证 即 即A可逆 定理2.8 分块对角矩阵(Block Diagonal Matrix)性质 (1) 分块对角矩阵的加法等于对角线上对应子块相加; （2）分块对角矩阵的乘法等于对角线上对应子块相乘 分块对角矩阵的行列式等于对角线上子块行列式的乘积 按行分块和按列分块 线性方程组用特殊分块表示 线性方程组 用特殊分块表示 矩阵乘法的分块表示 一、逆矩阵的定义 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 设 2.2 逆矩阵(Inverse Matrix) 2.2.1逆矩阵的概念 定理2.1 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 设 和 是 的逆矩阵， 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即 证明: 定理2.2 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 证明 若 可逆， 2.2.1 逆矩阵的性质 按逆矩阵的定义得 证毕 1.奇异矩阵(Singular Matrix)与非奇异矩阵: 推论 证明 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 故 证明 2.逆矩阵的运算性质 交换次序！ 证明 (5)分块对角矩阵具有下述性质: *思考题 思考题(1)解答 证 ( ) . A A , A 1 1 6 - - = 则有 可逆 若 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 三、逆矩阵的求法 同理可得 故 注意次序！ 例2 设 解 例3 设 解 于是 *例4 设A,B,A+B都是可逆矩阵， 试证明A-1+B-1亦可逆，并求(A-1+B-1)-1 解 例5 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 注： 求 Ak。 例6 解： 解 *例 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵