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《控制工程基础》 第3章 时域瞬态响应分析 3.5 高阶系统的瞬态响应 3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应 3.5.2 主导极点 3.5.3 偶极子相消 * 一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为 输入为单位阶跃时，其响应函数为 如果其极点互不相同，则上式可展开为 经拉氏反变换，得 可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。极点的性质决定瞬态分量的类型： ●实数极点?非周期瞬态分量 ●共轭复数极点?阻尼振荡瞬态分量。 类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态： ●极点位于除原点外的虚轴上 ? 等幅振荡 ●极点位于右半复平面 ? 发散 ●极点位于左半复平面 ? 收敛 ●在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴的距离越大，收敛速度越快。 ●在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实轴的夹角（阻尼），零点也有影响。 例1：已知某高阶系统G(s)的传递函数为 试求该系统的单位阶跃响应。 解：采用MATLAB软件计算 numerator=[1 20 100]; denominator=[1 15 84 223 309 240 100]; t=(0:0.1:20); step(numerator,denominator,t); 计算结果显示： 采用MATLAB软件将传递函数改写为零极点形式： numerator=[1 10 100]; denominator=[1 15 84 223 309 240 100]; zpk(tf(numerator,denominator)) 计算结果显示： Zero/pole/gain: (s+10)^2 ------------------------------ (s+5)^2 (s+2)^2 (s^2 + s + 1) 例2：将上例高阶系统G(s)的传递函数改写为零极点形式 即 例3：将上例高阶系统G(s)近似为低阶系统G1(s)来进行处理 采用MATLAB软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应： numerator1=[4]; denominator1=conv([1 4 4],[1 1 1]); system1=tf(numerator1,denominator1); t=(0:0.1:20); step(system1,r,t); 低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）： 将高阶系统G （用蓝色表示）和低阶系统G1 （用红色表示）的单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似： 当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出的影响较小，可以忽略不计。 j 0 s平面 s2 s1 × × × × × 主导极点 j 0 s平面 s1 × × × 主导极点 （1）主导极点与非主导极点 时间常数1（主导极点对应的时间常数） xo(t) 近似 xo(t) 近似前后的单位阶跃响应曲线 0 s平面 s2 s1 × × -0.5 0.87 × -2.5 1.94 × s3 s4 在一般情况下，当某些极点与虚轴的距离是其它极点与虚轴距离的4-5倍及以上时，这些极点可以略去。 xo(t) 近似 xo(t) 结论： ①高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度是不相同的。在s平面左半平面内，距离虚轴越远的极点，其负实部的绝对值就越大，与这些极点相对应的指数项分量与阻尼指数项分量衰减越快。因此，对高阶系统的时间响应进行近似分析时，可以忽略这些分量的影响。 ②相反地，距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作用，因而这种极点就被称为主导极点。 ③在工程上，一般将高阶系统中距离虚轴最近、其实部的绝对值为其它极点绝对值的1/5或更小的闭环极点作为主导极点。主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 ④对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。 当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴的距离时，这样的零点可以忽略，称为非主导零点。 0.87 × -0.5 2 0 s2 s1 × × z1 z2 -5 -10 s3 -2 （2）主导极点与非主导零点 xo(t) 近似 xo(t) 系统零点分布对时域响应的影响 高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度还取决于在各个闭环极点上的留数的相对大小。如果有一对靠得很近的零点和极点，那