工程矩阵理论第2章-内积空间与等距变换.ppt

请双面打印/复印(节约纸张) 272365083@ 主讲: 张小向 第二章 内积空间与等距变换 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 定理2.2.1 设W是内积空间V的有限维子空间, 则(1) V = W?W ?, (2) V = W?U U?W ? U = W ?. 证明: (1)设?1, …, ?r为W的一组标准正交基. ???V, 令? = ??, ?1??1 +…+ ??, ?r??r , 则??W且????, ?j? = 0 ( j = 1, …, r), 故????W ?, ? = ? + (???)?W+W ?, 因而V = W+W ?. 若??W?W ?, 则??, ?? = 0, 故? = 0. 可见W?W ? = {0}. 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 (2)设V = W?U且U?W, 则U?W ?, 另一方面, ??? W ? ? V = W?U, 存在??W, ??U使得? = ? + ?. 于是, 0 = ??, ?? = ??, ?? + ??, ?? = ??, ??, 由此可得? = 0, 因而? = ? + ? = ??U. 可见W ? ? U. 综上两个方面可得U = W ?. 推论2.2.1 设W是有限维内积空间V的子空间, 则(W?)? = W. 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 例1 证明: 记AH = (?1, …, ?s), 则?X?K(A), 有 设A? s?n, 证明: K(A)? = R(AH). 0H = (AX)H = XHAH = XH(?1, …, ?s) = (XH?1, …, XH?s) = (??1, X?, …, ??s, X?), 因而???R(AH), 有??, X? = 0, 即??X. 可见R(AH) ? K(A)?. 又因为 dimR(AH) = r(AH) = r(A) = n?dimK(A) = dimK(A)?, 所以K(A)? = R(AH). n = K(A)?K(A)? 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 注: [R(A)]? = [K(AH)?]? = K(AH), [R(AH)]? = [K(A)?]? = K(A). 利用例1和定理2.2.1可得 n = K(A)?R(AH). 用AH替换例1以及上式中的A可得 s = K(AH)?R(A). 由推论2.2.1可得 K(AH)? = R(A), 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 二. 向量到子空间的最短距离 定理2.2.2 设W是内积空间V的有限维子空间, 则对任意的??V, 存在唯一的??W 使得d(?, ?) = min{d(?, ?) | ??W}. W ? ? ??? ? ??? 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 证明: 由定理2.2.1知V = W?W ?. 故对任意的??V, 存在??W, ??W ? 使得 ? = ? +?. 于是对任意的??W, 有? ? ?? W, ||? ? ?||2 = ||? ? ? ? ? ||2 = ?? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? = ||? ? ?||2 + ||? ||2 + ?? ? ?, ?? ? + ???, ? ? ?? = ||? ? ?||2 + ||? ||2 ? ||? ||2 = ||? ? ?||2, 故d(?, ?) = min{d(?, ?) | ??W}. 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 假设还有? ?W 也满足 d(?, ?) = min{d(?, ?) | ??W}. 则 ||? ||2 = (d(?, ?))2 = (d(?, ?))2 = ||? ? ?||2 = ||? ? ? ? ? ||2 = ||? ? ?||2 + ||? ||2, 故||? ? ?||2 = 0, 因而? ? ? = 0, 即? = ?. 第二章 内积空间与等距变换 §2.2 正交补, 向量到子空间的最短距离 定理2.2.2 设W是内积空间V的有限维子空间, 则对任意的??V, 存在唯一的??W 使得d(?, ?) =