02-数学基础2-脉冲函数和卷积.pptVIP

§0-2 脉冲函数 d -Function 一、定义 fn(x)可以是nrect(nx), nsinc(nx), nGaus(nx), 二维圆域函数等等. 物理系统已无法分辨更窄的函数 定义1. 定义2. 基于函数系列的极限 : 可描述: 单位质量质点的密度, 单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度, 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 等等. §0-2 脉冲函数 d -Function 一、定义 (续) 0 x d (x) 1 1 0 x d (x,y) y d -函数的图示: 定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则 f(x)称为检验函数. §0-2 d -函数 二、性质 1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续, 则 证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习) 推论: d (x)是偶函数 2. 缩放性质 scaling 与普通函数缩放性质的区别: 普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度 d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度 通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值. §0-2 d -函数 二、性质 (续) 3. 乘积性质 设f (x)在x0点连续, 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数 练习：计算 sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3) §0-2 d -函数 三、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x) 表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列. 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅. 间隔为t 的脉冲系列: 定义: n为整数 §0-3 卷积 convolution一、概念的引入例题 用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。 卷积 概念的引入 探测器输出的光功率分布 a x f (x ) 1/f0 x 卷积运算 §0-3 卷积 convolution一、概念的引入 (II) 设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x) 物体分布 成像系统 像平面分布 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述 f(x) 成像 x x 0 x1 f(x 1)h(x+x 1) x2 f(x 2)h(x-x 2) f(0)h(x) §0-3 卷积 convolution一、概念的引入 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x) 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述 f(x) 成像 x x 0 x1 f(x 1)h(x-x 1) x2 f(x 2)h(x-x 2) f(0)h(x) x §0-3 卷积 convolution二、定义 若f(x)与h(x)有界且可积, 定义 *: 卷积符号 g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和. g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. 二维函数的卷积: §0-3 卷积 convolution三、计算方法--借助几何作图 原函数 折叠 位移 相乘—得到被积函数 卷积过程图示（2） 卷积 概念的引入：回到前面的例题 探测器输出的光功率分布: a f (x ) 1/f0 x x 计算这个卷积: 讨论这个结果 f(x)=2+cos(2pf0x) 展宽 平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。 卷积过程的两个效应 §0-3 卷积 convolution四、性质 1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x) 推论:卷积是线性运算 Linearity [av(x) + bw(x)]*h(x) = a[v(x)* h (x)] + b[w(x )* f (x)] 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)] * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 3.卷积满足结合律 Associative Property [v(x) * w(x)]*h(x) = [v(x) *