专题十--内积空间与希尔伯特空间讲稿.pptVIP

* 专题十 内积空间与希尔伯特空间 元素的长度（范数） 内积空间与希尔伯特空间 内积空间+完备性?希尔伯特空间 欧氏空间?线性空间+内积?内积空间 两向量夹角与正交 内积空间特点： 内积与内积空间 一、内积空间与希尔伯特空间的概念 内积公理 定义1 设H是数域K上的线性空间，定义函数·,· :H?H?K, 使对 对?x,y,z?H, ??K, 满足 x+y, z=x, z+y, z) ?x,z=?x,z 4) x, x ?0, 且x, x=0?x=0 则称x, y 为数域K中x与y的内积, 而称定义了内积的空间 H为内积空间。 注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间； 当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。 2) ?x+?y, z=?x, z+?y, z 3) x,y=y,x 4) x,?y=?y,x=?x,y 3) x,?y+?z=?y+?z,x=?x,y+?x,z 2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离 定义2 (1)范数 称为由内积诱导的范数。 (2)距离函数 称为由内积诱导的距离。 注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系——许瓦兹不等式 |x,y|?||x|| ||y|| (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系： (3)由内积诱导的范数满足范数公理 ?内积空间按照由内积导出的范数，是线性赋范 空间。但反之不然 3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件 定理1 线性赋范空间X是内积空间??x,y?X, 有 ||x+y||2 + ||x-y||2=2||x||2 + 2||y|| (平行四边形公式或中线公式) 定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。 4 希尔伯特空间 例1 n维欧氏空间Rn按照内积 是内积空间。 Rn中由内积导出的距离为 Rn按照由内积导出的范数 因而是Hilbert空间。 是Banach空间， 例2 l2空间按照内积 是内积空间。 l2按照由内积导出的范数 是Banach空间，因而是Hilbert空间。 l2中由内积导出的距离为 (许瓦兹不等式) 例3 L2[a,b]空间按照内积 是内积空间。 L2[a,b]按照由内积导出的范数 是Banach空间，因而是Hilbert空间。 L2[a,b]中由内积导出的距离为 ?C[a,b]中范数不满足平行四边形公式， 例4 C[a,b]按照范数 是线性赋范空间， 但C[a,b]不是内积空间 证 取x=1, y=(t-a)/(b-a)?C[a,b] ?||x||=1, ||y||=1 ?||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, ||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1 ?||x+y||2+||x-y||2=5?4=2(||x||2+||y||2) ?因而不是由内积导出的范数 ?C[a,b]不是内积空间 5 内积空间中的极限 证 xn?x?||xn-x||?0 yn?y?||yn-y||?0 ?|xn,yn - x,y?|xn,yn - x,yn|+|x,yn-x,y| ?||xn-x|| ||yn|| + ||x|| ||yn-y||?0 ?xn,yn ?x,y (n??) 定义4 （极限）设X是内积空间，?{xn}?X, x?X及y?X, 定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积x,y是x,y的连续函数, 即?{xn}、{yn}?H, x, y?H, 若xn?x, yn?y, 则xn,yn?x,y 注：距离函数、范数、内积都是连续函数 （线性运算对内积的连续性） 6 内积空间的完备化 定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存在映射T: X?Y, 保持线性运算和内积不变，即?x,y?X, ??, ??K, 有 (1) T(?x+?y)=?Tx+?Ty, (2) Tx,Ty=x,y 则称内积空间X与Y同构，而称T为内积空间X到Y的同构映射。 定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空 间是唯一的。 二、内积空间中的正交分解与投影定理 在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平面上的正