【优选整合】高中数学人教A版选修4-5 1.2.1 绝对值三角不等式 课件 (共27张PPT).ppt

变式训练3、设函数f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈R. (1)当a＝2时，解不等式f(x)1; (2)若对于任意实数x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝2时，f(x)1就是|x－3|－|x＋2|1. 当x－2时，不等式为3－x＋x＋21，得51，不等式无解; 当－2≤x3时，不等式为3－x－x－21，得x0，所以0x3; 当x≥3时，不等式为x－3－x－21，得－51，不等式恒成立，所以x≥3. 综上可知，不等式f(x)1的解集是(0，＋∞). (2)因为f(x)＝|x－3|－|x＋a| ≤ |(x－3)－(x＋a)|＝|a＋3|， 所以f(x)的最大值为|a＋3|. 对于任意实数x，恒有f(x)≤ 2a成立等价于|a＋3| ≤ 2a. 当a ≥－3时，不等式为a＋3 ≤ 2a，得a ≥ 3; 当a －3时，不等式为－a－3 ≤ 2a，得a ≥－1，无解. 综上，所求a的取值范围是[3，＋∞). 1.两数和与差的绝对值不等式的性质:|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. (1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值. (2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式. 2.含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值不等式的性质:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. 首页 DAYIJIEHUO 答疑解惑 DANGTANGJIANCE 当堂检测 XINZHIDAOXUE 新知导学 首页 DAYIJIEHUO 答疑解惑 DANGTANGJIANCE 当堂检测 XINZHIDAOXUE 新知导学 首页 DAYIJIEHUO 答疑解惑 DANGTANGJIANCE 当堂检测 XINZHIDAOXUE 新知导学 首页 DAYIJIEHUO 答疑解惑 DANGTANGJIANCE 当堂检测 XINZHIDAOXUE 新知导学 1.2.1　绝对值三角不等式 若点O为数轴的原点，A，B为数轴上的任意两点，则一定有|AB|＝|AO|＋|OB|吗?如果原点O的坐标为0，而A，B两点在数轴上的坐标分别为a，b，那么一定有|a＋b|＝|a|＋|b|吗? 预学1:定理1 如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 议一议:说出不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件. 【解析】等号成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|. 预学2:定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 想一想:方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集是多少? 【解析】∵|2－x|＋|x－4|≥|2－4|＝2，当且仅当(2－x)·(x－4)≥0，即2≤x≤4时等号成立. ∴方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集为[2，4]. 预学3:|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|之间的关系 |a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|;当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|. 练一练:若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是　　　　，最小值是　　　　.? 【解析】||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故|a＋b|的最大值是5，最小值是0. 【答案】 5　0 预学4:不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件 左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0，||a|－|b||≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab＝0. 想一想:不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，其中左右两边等号成立的条件分别是什么? 【解析】||a|－|b||≤|a－b|等号成立的条件是ab≥0，|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件ab≤0. 2.利用绝对值三角不等式解决函数的最值问题 例2、对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立. (1)求实数M的最大值; (2)若实数M的最大值为m，当x1时，解不等式|x－1|＋|x－2|≤m. 首页 DAYIJIEHUO 答疑解惑 DANGTANGJIANCE 当堂检测 XINZHIDAOXUE 新知导学 首页 DAYIJ