第5章求和与级数.docVIP

第5章求和与级数 5.1实验目的 理解数项级数的收敛与发散、幂级数收敛半径与收敛域概念、函数的周期延拓及函数展开为傅氏级数的收 敛定理。熟悉Mathematica 数学软件求有限和及数项级数和的命令。 5.2实验准备 5.2.1 数学概念与结论 1． 数项级数 2． 级数收敛与发散 3． 正项级数收敛的判别法 4． 幂级数收敛半径与收敛域 5． 函数展开为傅氏级数的收敛定理 5.2.2 数学软件命令 1. Sum[f(i) , {i ，imin，imax，h }] 功能：计算f(imin) +f(imin +h)+f(imin +2h)+……+f(imin +nh)},imax – h ?? imin + nh ?? imax , h0 2. Sum[ f(i) , { i，imin，imax}] 功能：计算f(imin) +f(imin +1)+f(imin +2)+……+f(imax) 3. Sum[ f(i , j)，{{i，imin，imax},{j, jmin，jmax}] 功能：计算二重和 4.NSum[f(i) , {i ，imin，imax，h }] 功能：计算和f(imin) +f(imin +h)+f(imin +2h)+……+f(imin +nh)}, imax – h ?? imin + nh ?? imax , h0的近似解。 5. NSum[ f(i) , { i，imin，imax }] 功能：计算f(imin) +f(imin +1)+f(imin +2)+……+f(imax) 的近似解。 6. NSum[ f(i , j)，{{i，imin，imax},{j, jmin，jmax}] 功能：计算二重和的近似解。 7.If [条件, 语句1, 语句2] 功能：根据条件的成立与否确定执行哪一个语句，具体执行为:条件成立时，执行语句1，否则，执行语 句2，并将语句执行结果作为If 语句的值。 8.Which[条件1,语句1,条件2,语句2, ... ,条件n,语句n] 功能:由条件1开始按顺序依次判断相应的条件是否成立,若第一个成立的条件为条件k,则执行对应的语句 k。 5.3实验任务 5.3.1 基础实验 本实验熟悉数学软件命令操作。 1.求下列和式： 1） 2） 3） 4） 5) 6) 2.设用Sum 命令生成,并画出在[-1,1]上的图形。 3．判定下列级数的敛散性，对收敛的级数求出和式。 1） 2） 3） 4） 4. 印度年轻的传奇数学家拉马努金（Ramanujan,1887,1920）提出了一个用级数描述圆周率?的公式，试用这个公式计算圆周率?的近似值，要求结果精确到小数点29 位。 5.设, 0??1 ,将做偶延拓和奇延拓并在[-3,3]上画出相应的延拓图形。 6.将在[-?,?]上展开为傅氏级数，并分别取展开式的前两项和前三项比较其展开的逼近效果。 5.3.2 探索实验 本实验探索调和级数的发敛特点。 7. 在数学上已经证明了调和级数是发散的，问它以怎样的规律发散？ 5.3.3 应用实验 本实验研究分形几何中的Koch 雪花问题。 8. 在有单位边长的正三角形中，将每一条边三等份，再以每一条边的中间一段为边向外做等边三角，然后 再对每一条边重复这样的操作，如此下去产生的图形称为Koch 雪花。试讨论当边n不断增多趋于无穷大时， 产生图形的周长和面积的极限。 5.4实验过程 1. 1） In[1]:= Sum[1/(2n-1),{n,1,20}] Out[1]= 2）In[2]:= Sum[1/(n*(n+1)),{n,1,Infinity}] Out[2]:= Sum[1/(n*(n+1)),{n,1,Infinity}] 由于没有给出计算结果，尝试求近似和的命令: In[3]:= NSum[1/(n*(n+1)),{n,1,Infinity}] Out[3]=1 3）In[4]:= Sum[n*(n+1),{n,4,10}] Out[4]= 420 4）In[5]:= Sum[Sin[1/n],{n,2,6}] Out[5]= In[6]:= N[%,16]（16是小数位数） Out[6]= 1.418589658143354 5）In[7]:= Sum[k,{k,1,101,2}]（2为步长） Out[7]= 2601 6）In[8]:= Sum[(i-j)^3,{i,1,20},{j,1,10}] Out[5]= 149500 2. In[1]:= s6=Sum[(k+1)*x^k,{k,0,6}] Out[1]= +nx(n-1) In[2]:= Plot[s6,{x,-1,1}] 输出图形为 Out[2]:=-Graphics- 3. 1