第9章解非线性方程组的数值方法.ppt

21 第八章 非线性方程组的数值方法 第一节 非线性方程求根的迭代法 一、非线性方程求根的基本问题包括：根的存在性、根的隔离和根的精确化 二、简单迭代法 记y1=x , y2=φ(x) , 它们交点的横坐标α即为方程的根 定理3 （迭代法的局部收敛定理） 定理3’ （迭代法的局部收敛定理） 五、迭代法和离散动力系统 第二节 非线性方程组的简单迭代法一、引言 二、压缩映射与不动点迭代（简单迭代法） 三、收敛速度 第三节 非线性方程组的Newton型算法一、Newton-Raphson方法的迭代格式 二、同伦算法 三、拟牛顿法 第四节 无约束优化算法 一、高斯-牛顿法 二、有哪些信誉好的足球投注网站法 对非边界点进行编号: 顺序为-----从下往上,从左往右 相应的解向量和右端向量分别为 多元向量值函数的导数 多元实函数的高阶导数 研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。 二、局部收敛性原理 原理的局限性： （1）收敛域 很难找 （2）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件. 如： P=1，C1为线性收敛，P=2为平方收敛。 二、Newton迭代法的收敛性 由迭代收敛阶的定义，Newton迭代法是平方收敛的。 三、牛顿迭代法 任取初始值 ， 上过点 的切线方程为： 与 轴交于点 过点 的切线方程为 与 轴交于点 如此下去得牛顿迭代公式: 用切线代替曲线，用 线性函数的零点作为 f(x)的零点的近似值。 （收敛的充分条件）设 f ?C2[a, b]，若 (1) f (a) f (b) 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) ? 0； (3) 选取 x0 ? [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) 0； 则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的唯一根。 根唯一 产生的序列单调有界，保证收敛。 定理4 y x 0 b a x0 y x 0 b a x0 y x 0 b a x0 y x 0 B a x0 例 　用迭代法求 在隔根区间[1.4,1.5] 内的根，要求准确到小数点后第4位。 （1）牛顿迭代公式为 （2） 当 时有， 因 ,故取 ,牛顿迭代法收敛。 function y=newton(fname,dfname,x0,e,N) y=x0; x0=y+2*e; k=0; while abs(x0-y)ekN k=k+1; x0=y; y=x0-fname(x0)/dfname(x0); disp(y) end if k==N disp(warning) end f=inline(x^3-x^2-1); df=inline(3*x^2-2*x); y=newton(f,df,1.5,0.5*10^(-4),500) （局部收敛性）设 f ?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根，且 f ’(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*，且满足 定理5 证明：Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则 收敛 由 Taylor 展开： 只要 f ’(x*) ? 0，则令 可得结论。 注：在单根 附近收敛快，是平方收敛的． 由 Taylor 展开： 对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续，并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是P阶收敛的。 定理6 证明：由于 。据上定理，立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性。再将 在