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特殊四 边形 性 质 判 定 边 角 对角线 边 角 对角线 平行四 边形 对边 平行 且相 等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 1、两组对边分别平行的四边形 2、两组对边分别相等的四边形 3、一组对边平行且相等的四边形 4、两组对角分别相等的 四边形是平行四边形 5、两条对角线互相平分的四边形 矩形 对边平行且相等 四个角都 是直角 对角线互相 平分且相等 1、有一个角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 菱形 四边 相等 对角相等 邻角互补 对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 1、一组邻边相等的平行四边形 2、四边相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 正方形 四边 相等 四个角都 是直角 对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形。 4、对角线相等的菱形 5、对角线互相垂直的矩形 等腰 梯形 两底 平行 两腰 相等 同一底上的两个底角相等 对角线相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形。 2、在同一底上的两个底角相等的梯形 3、对角线相等的梯形 第三讲 证明（三） 一、四边形主要知识点： 1. 知识结构如下图 （1）弄清定义及四边形之间关系图1： （2）四边形之间关系图2： 2、几种特殊的四边形的性质和判定： 3、一些定理和推论： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、典型例题分析 例1. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G．求证：ADE≌△CBF；若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：AP=EF. 例题3.如图：已知在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DGCE于点G，交OC于点F. 如果正方形ABCD边长为10㎝.求EF的长. 例4.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数． 例5. 如图所示，在 中，对角线、交于点，平分的外角，且；求证： 例6.如图所示,为的边的垂直平分线上一点,且的延长线分别交、于点、,；求证： 例7. 如图所示，在正方形中，点在上，点在上，，于点；求证： 例8.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（ABAD） BD=10， BD =DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF = 4. (1) 求BC的长； (2) 设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40，试求EC的长 . 综合练习 1．如图：在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7㎝,对角线ACBD,=30,求梯形的高AH. 2．如图：已知在平行四边形ABCD中,于点E,BE:EC=1:3,点F、G、H分别是AB、AE、CD的中点,EF=5,GH=21 求（1）AD的长 （2）梯形AECD的面积 3. 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点M为CD上一动点（与点C不重合），将矩 形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F. （1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）； （2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）是否存在点M的位置使∠BEM=900，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由. 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，且OE=OF. 求证：AE⊥BF. 5．如图：已知正方形ABCD的边长为5，E是BC上一点，BE : EC=2 : 3,M、N分别在CD、AB上，以M、N为折痕，使点A与AC上的点E重合.求（1）BN的长（2）S 4 四边形 梯形 直角梯形 等腰梯形 正 方 形 菱形 矩形 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 直角梯形 等腰梯形 有一个角是直角 两腰相等 一组邻边相等 一个角是直角 只有一组对边平行 梯形 正方形 菱形 矩形 平行四边形 四边形 两组对边分别平行 E F O D A C B G A