第3章 解线性方程组的直接方法3.pptVIP

* * 2.3 舍入误差对解的影响 本节研究线性代数方程组解的误差。衡量数的误码率差用到绝对值；方程组的解是向量，衡量其误差，自然需推广绝对值的概念。 2.3.1 各量和矩阵的范数 众所周知,数 的绝对值 是 的函数: ,具有以下三性质: 推广到向量 ,具有如下类似性质的函数 称为向量度 的范数或模或长度: 几何上三角不等式表示：在以向量 、 及其和 构成的三角形中，一边之长不超过另两边边长之和。由此易见， 从而 表示以 、 和 为边的三角形中，一边之长不小于另两边边 长之差。 常用向量范数有3种，即 分别称为1范数、2范数、无穷大范数。不难验证它们具有性质(1)和 (2)。这里只对范数 验证性质(3)。为此只需证 或 最后不等式称柯西(Cauchy)不等式。注意对任意实数 由 二次式的判别式 ，便可推出柯西不等式。因此对 性质 (3)成立。 对于 阶方阵 ，具有如下4种性质的函数 称为矩阵 的范数： 例如矩阵函数 容易验证它具有上述４种性质，便是一种矩阵范数，称为矩阵 的 范数，简称 范数。 常用矩阵范数是如下三种范数： （2—6） 其中 表示矩阵 的谱半径，即 特征值绝对值的最大 者。三种范数分别称为1范数或列范数，无穷大范数或行范数，2范数 或谱范数。 可以证明，矩阵的这三种范数还具有以下3种性质：(满足性质(1) 的矩阵范数称为相容范数) （2—7） 这里只证性质（3）。假定 不可逆，则线性齐次方程组 有非零解 ，从而 矛盾。这说明 可逆， 存在。于是 从而知 证毕 2.3.2 舍入误差对解的影响 用直线法解线性方程组 ，理应得出准确解 。但因存在 舍入误差，只能得出近似解 ，或者说近似方程组 的准确解。 近似矩阵 和近似向量 的误差 同计算机运算和精度有关。计算精度越高， 和 必然越小。 下面估计 和 很小时解的误差 。 和 分别 满足方程组 两式相减，可得 当 很小时 很小， 可逆， 注意 令 此时表明， 很小时解的相对误差约为 和 相对 误差的 倍； 很大时即使 和 的相对误差很小，解的相对 误差也可能很大。数 反映了舍入误差对解可能影响的大小，同方程 组本身系数矩阵有关，因此称为方程组 的条件数。它的值随 所取范数不同而略有不同；但对矩阵的相容范数，均有 ，均可粗略说是误差的放大倍数。 值很大的方程组称病态方程组， 值较小的方程组称良态方程组。 如下方程组都是病态方程组： 对第一个方程组， * *