第7章---第5节 课后·演练·提升.docVIP

一、选择题 1．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为(　　) A.Q　　　　B．Q　　　　C.Q　　　　D．2Q 2．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　) A．3π B．4π C．3π D．6π3．如图7－5－8所示，已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1的各条棱长均为3，BAD＝60°，长度为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为(　　)A. B. C. D. 4．如图7－5－9是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是(　　) 图7－5－9 A．27 B．30 C．33 D．36 5．在正三棱锥P－ABC中，E，F分别为棱PA，AB的中点，EFCE且BC＝1，则此正三棱锥的体积是(　　) A. B. C. D. 二、填空题 6．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是________．7．如图7－5－10所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________． 8．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为________． 三、解答题 9．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．10．如图7－5－11，线段AB 平面α，线段CD平面β，且平面α平面β，ABCD，AB＝CD＝a，α，β的距离为h，求四面体ABCD的体积． 11．如图7－5－12所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体．如图7－5－12所示． (1)求证：BE平面ADF； (2)求三棱锥F－BCE的体积． 1．【解析】　4πR2＝64πR＝4 V＝QR＝Q，故选C. 【答案】　C 2．【解析】　正四面体的外接球半径等于正四面体高的，正四面体内切球 半径等于正四面体高的. AD＝，AO＝AD＝， SO＝＝. R2＝(－R)2＋ R＝，球的表面积为3π.答案为A. 【答案】　A 3．【解析】　由于ABCD－A1B1C1D1是直平行六面体，所以DD1DN，故三角形DMN是直角三角形，斜边MN＝2，又因为P为MN中点，所以DP＝1，即P点到定点D的距离等于常数1，因此P点的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面被直平行六面体所截得的部分，又由于BAD＝60°，所以ADC＝120°，所以所求几何体的体积V＝××π×13＝π，故选A. 【答案】　A 4．【解析】　由三视图可知，该几何体由一个正四棱锥和一个正方体组成． V几何体＝V四棱锥＋V正方体＝×32×1＋33＝3＋27＝30. 【答案】　B 5．【解析】　因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EFBP，又EFCE，P－ABC为正三棱锥，所以易证BPAC，则BP平面PAC，所以BPPC，则PBC是等腰直角三角形；设侧棱PB＝PA＝PC＝x，又BC＝1，则x＝，所以VP－ABC＝××××＝.故应选B. 【答案】　B 6．【解析】　可构造一个正方体，正方体与三棱锥同外接球， 半径r＝，S球＝4πr2＝9π，故填9π. 【答案】　9π 7．【解析】　将其补成一个底面半径为r，高为a＋b的圆柱，则可知V＝πr2(a＋b)． 【答案】　πr2(a＋b) 8．【解析】　不妨设AC＝BC＝AD＝BD＝CD＝a， 取CD中点E，连接AE、BE，则 AECD，BECD， CD⊥平面ABE， V＝SABE·a＝··(a)2·sin AEB·a≤， 当且仅当平面ACD平面BCD时取“＝”． 【答案】　 9．【解】　如图所示，正三棱锥S－ABC. 设H为正三角形ABC的中心， 连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高． 连接AH并延长交BC于E， 则E为BC的中点，且AHBC. ∵△ABC是边长为6的正三角形， AE＝×6＝3，AH＝AE＝2. 在ABC中， SABC＝BC·AE＝×6×3＝9. 在RtSHA中，SA＝，AH＝2， SH＝＝＝， V正三棱锥＝SABC·SH＝×9×＝9. 10．【解】　依题意可构造一个底面对角线长为a，高为h的正四棱柱(如图)．显然，正四棱柱的底面边长为a，其体积为V柱＝(a)2h ＝a2h.而三棱锥C－AC′B的体积为V锥＝V柱． 故四面体ABCD的体积为V＝V柱－4V锥＝V柱－V柱＝V柱＝a2h. 11．【解】　(1)证明　法一　取DF的中点G，连接AG，EG， CEDF，EGCD. 又ABCD，EGAB，四边形ABEG为平行四边形． BE∥AG.∵BE?平面AD