第8章-常微分方程初值问题的数值解法.pptVIP

* 第8章 常微分方程初值问题的数值解法 基础知识 欧拉方法 龙格—库塔方法 8.1 基础知识 一、问题的提出 很多实际问题都需要求解常微分方程。例如单摆问题。 常微分方程分为线性常微分方程和非线性常微分方程，又可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。通过变量的替换，可以把高阶常微分方程转化为一阶常微分方程再求解。对于一阶常微分方程组，可以写成向量形式的单个方程，求解方法与一阶常微分方程相似。因此本章只讨论一阶常微分方程的初值问题： 目前在常微分方程理论中，只能求出某些特殊类型常微分方程的解析解，对大部分常微分方程，用解析方法求出常微分方程的精确解非常困难，甚至不存在解的解析表达式。为满足工程实践的需要，常常用数值解法求常微分方程的近似解。 在本章中假设讨论的一阶常微分方程的初值问题的解y(x)存在、唯一且足够光滑，方程本身是稳定的，即精确解y(x)连续且依赖于初始值及右端函数。 8.1 基础知识 二、数值解法 一阶常微分方程初值问题的数值解法的主要思想，是对区间[a,b]上的节点 a=x0＜x1＜……＜xn＜xn+1＜……≤b 建立y(xn)的近似值yn的某一递推格式，利用初值y0和已计算出的y1,y2,……, yk-1递推出yk，并且用这一方法反复递推，依次得到yk+1,yk+2,……,yn。这一求解方法称为步进式求解，相邻2个节点的距离称为步长，记为hi=xi+1－xi。为便于计算，常取成等距节点，称为定步长，这时把步长记为h。 一阶常微分方程初值问题的数值解法有多种分类方法。 多步法不能自行启动，必须先用单步法计算出y1,y2,……,yk-1，才能启动一个r步的多步法。 一种分类方法为： ⑴ 单步法：每一轮递推只用到前面一轮的递推结果，递推格式为： yk=yk-1＋hT(xk-1,yk-1) ⑵ 多步法：每一轮递推要用到前面多轮递推的结果，递推格式为： yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk-1,yk-1)，其中r＞1。 8.1 基础知识 二、数值解法（续） 另一种分类方法为： ⑴ 显式方法：递推公式的右端都是已知量，可以直接计算出递推的结果，递推格式为：yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk-1,yk-1) ⑵ 隐式方法：递推公式左端的未知量也出现在公式的右端，递推格式为： yk=yk-1＋hT(xk-r,yk-r,xk-r+1,yk-r+1,……, xk,yk) 隐式方法的递推公式其实是一个方程。解方程的运算量可能较大，为避免解方程，常采用预测—校正系统。 ⑶ 预测—校正系统：每一轮递推包括预测和校正这2个步骤。先用显式方法计算出yk，作为迭代的初值，这一过程称为预测；再把隐式方法的递推公式作为迭代公式，把预测值yk代入迭代公式右端进行迭代，这一过程称为校正。在校正时往往迭代1次或几次，校正值的精度就会有大幅提高。 一阶常微分方程初值问题的数值解法一般是对连续的初值问题进行离散化处理，把微分方程转化为代数方程来求解。常用的离散化方法有： ⑴ 基于数值微分的离散化方法，⑵ 基于数值积分的离散化方法，⑶ 基于泰勒展开的离散化方法。 8.2 欧拉方法 一、显式欧拉法 在一阶常微分方程初值问题的数值解法中，显式欧拉（Euler）法是最简单的一种。显式欧拉法有明显的几何含义，缺点是精度不高。对于一阶常微分方程的初值问题： 显式欧拉法的递推公式为：yk=yk-1＋hf(xk-1,yk-1)，k=1,2,3,……。 显式欧拉法每一轮递推只用到前面一轮递推的结果，因此它是单步法。 由基于数值微分的离散化方法、基于数值积分的离散化方法、基于泰勒展开的离散化方法都可以推导出显式欧拉法的递推公式。 用显式欧拉法求解一阶常微分方程初值问题的过程，就是以已知的(x0,y0)作为起点，代入显式欧拉法的递推公式的右端，计算出y(x)在x1处的近似值y1；再以(x1,y1)作为起点，用显式欧拉法的递推公式计算出y(x)在x2处的近似值y2；……。 8.2 欧拉方法 一、显式欧拉法（续） 显式欧拉法的递推公式是斜率为f(xk-1,yk-1)，经过点(xk-1,yk-1)的直线方程。 上述显式欧拉法递推过程的几何含义，就是用曲线y(x)在点(x0,y0)处的切线段代替y(x)在区间[x0,x1]内的曲线段；再把曲线段的终点(x1,y(x1))近似为切线段的终点(x1,y1)，把曲线y(x)在点(x1,y1)处切线的斜率f(x1,y(x1))近似为f(x1,y1) ，做曲线y(x)在点(x1,y1)处的切线，并在区间[x1,x2]内用近似的切线段代替y(x)的曲线段；……。欧拉法用一系列折线