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第六讲Riemann问题的近似解Approx. Riemann Solver为什么要研究Riemann问题的近似解?精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲型守恒律的Riemann问题无精确解！由于在时间积分、通量积分、重构等步骤已经引入了各种近似，精确求解Riemann问题并不会导致整体精度的提高（但对一维问题而言，基于Riemann问题精确解的Godunov格式的稳健性和精度的平衡可能较好。）Riemann问题的近似解法1：HLL方法为了避免奇异性，不对左右波的类型作假定。左右波只表示间断初始值的影响范围；优点：简单；已知问题：对接触间断分辨率低。Harten-Lax-Van Leer， Einfeldt（1988）基本思路：双波近似（不考虑接触间断）HLL 近似Riemann求解器 （Harten, Lax van Leer）思路： 在控制体上积分，分析积分方程在控制体 上积分Euler方程控制体内质量（动量、能量）的减少等于流出控制面的通量Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition) 若控制体空间足够大（或时间跨度足够小）， 扰动波未达到控制体的边界（如图）边界上，未受扰动，保持常数未扰动的值把积分域分成三段；中间为受扰动段 为扰动波传播的速度（激波或稀疏波的波头传播速度） 左、右波的速度假设已知未扰动区，保持常值ULUR 消项T时刻，扰动区内的平均值T时刻的流动未扰动段，不影响积分，可不考虑思路： 以扰动区内的平均值，代替瞬时值含义： T时刻扰动区内的平均值以平均值 代替分布值于是，HLL的近似Riemann解为：一般不用 直接计算通量而是采用守恒律弱解的定义间接计算原因：采用守恒律弱解的定义间接计算数学性质较好（满足熵条件，容易分析数值耗散等）。通量计算在控制体 （图中红色部分）积分Euler方程，得：控制体积 （图中绿色部分）积分二者计算结果相同带入 表达式最终界面的HLL通量如下：优点： 计算简单缺点： 没有考虑到接触间断。 该现象（初始间断产生两道激波、中间没有接触间断）不可能发生。 Riemann问题是三波问题，该近似为两波问题，假设过强。Riemann问题的近似解法2：HLLC方法Toro基本思路：三波近似（在HLL基础上加接触间断）发展了HLL近似解，用三波模型来近似 （如图）HLLC 近似解三波近似， 左、中、右波的波速为， ， 中间波为接触间断T 时刻的流动状态利用积分关系计算接触间断的速度及其左右的物理量 根据积分关系，可知红色区域积分可得蓝色区域积分可得R-H关系式； 弱解定义式假设中间波为接触间断：如果把ZL,ZR也当成未知数，可精确求解 （6方程6未知数，Riemann精确解），但计算复杂。问题最终描述：求解超定方程—— 4个未知数，6个方程求解方程组：其中：6个方程假设波速ZR,ZL已知，未知数—— 4个6个方程，4个未知数，怎么解？与精确Riemann解的区别：本近似解假设左、右波速度已知，因此，未知数只有4个 ； 精确Riemann解认为ZL,ZR也是未知数，因此6个方程，6个未知数求解方案不能太复杂，复杂度不能超过求解原6个未知数的方程（Riemann精确解）；原则——务必给出解析解求解思路—— 只使用其中的4个方程 方案（1） ： 利用的连续性方程及动量方程（共4个），解出全部4个未知数利用质量及动量方程近似解： 假设左、右波速已知，简化了计算 （求解线性方程）精确解： 左、右波速都是压力的函数，方程复杂（非线性），需迭代求解线性方程 动量积分关系式利用压力相等，求出解出速度求出解出HLLC 近似解 (方案1)最终HLLC （方案1）的表达式为：HLLC 近似解( 方案2)根据方案(1)算出u*,p*近似解方案（2）与方案（1） 的区别方案（1）只使用了质量及动量积分关系（未使用能量积分关系）； 方案（2）在最后一步也使用了能量积分关系HLLC （方案2）给出的最终形式： HLL, HLLC波速的估算HLL 及HLLC 均假设ZL, ZR已知，实际上它们仍需要估算方法1： 直接估算准确计算ZL,ZR，实际是计算Riemann精确解，计算量大1a:假设以声速传播 （Davis） 1b:左、右两种状态声速的平均 (Davis, Einfeldt) 激波速度介于波后（相对）声速与波前（相对）声速之间，平均是个好思