第四章：固体力学大变形基础.pptVIP

2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2000.4 固体力学大变形基本知识 1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 6. 大变形本构关系 1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述 证明 1.5 Green和Almansi应变张量 2. 物体运动的空间描述和变形率 证明 克希荷夫应力物质导数 证明 6. 大变形本构关系 相应的克希荷夫应力为 因为 ， ，刚体转动时 ，因此 这一推证表明，克希荷夫应力张量在空间固定坐标下，是一个不随刚体转动而变的客观张量。显然，欧拉应力不是。克希荷夫应力张量和Green应变张量构成描述材料本构关系的一个适当的搭配 对于材料非线性问题，对于依赖于材料变形历史的非弹性问题，通常情况下需采用增量理论进行分析。其中的材料本构关系应采用微分型或速率型，由此引入了应力率的概念。 前面已讨论，变形率张量是应变对时间的物质导数，介质作瞬时刚体转动时，变形率张量为零。但欧拉应率的时间或物质导数都不等于零。例如一单向应力的杆，当杆平行 时仅 非零，而刚体转动使杆平行 时仅 非零，可见刚体转动相对空间固定坐标，改变了欧拉应力张量分量（对动坐标它不变）。因此在大变形分析的本构关系中，和变形率相对应，欧拉应力的时间或物质导数都不能合适地度量。 设含P点的邻域上有一随介质刚体转动的动坐标 ，在t时刻动坐标与定坐标重合，邻域的Q点 转动时不变，但它在固定坐标中的 ，前已指出，按如下速率变化 式中 为瞬时旋度矢量。 t+dt时刻Q点位置为 即 的方向余弦张量为 。 设t时刻P点的应力为 ，则t+dt时刻为 因为 在此基础上，定义焦曼应力率为 故可得 变换到动坐标的结果为 将 和 代入上式，展开、整理后可得 则 展开、整理 当介质作刚体转动时，因为Vij=0和vk,k=0，也即 除焦曼应力率外，还有Truesdell应力率，它可表为 显然当介质作刚体转动时， ，它是不受刚体转动影响的客观张量。 也是客观张量 克希荷夫应力 为了求克希荷夫应力张量的物质导数，需先求雅可比行列式的物质导数。 由于质量守恒，在固定坐标系中流入微小体元的质量的净速率，等于质量积累的速率，因此 因为 ，因此 有了雅可比行列式的物质导数，下面求克希荷夫应力张量的物质导数 因为 因此经推证后可得 Truesdell应力率 是客观张量 推证 返 章 因为 将上述关系代入上式，可得 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 变形体初始和现时位形如图所示，以欧拉应力表述平衡时 这是现时位形空间描述的平衡条件。 在外荷为保守力系 时 经推证得 上式乘以J，由于 由复合函数求导数，平衡方程改写为 平衡方程成为 对任意j恒有 因为拉格朗日应力和欧拉应力关系 以j=1为例，由（4.10)可得 同理可验证，对任意j恒有 由此不难得到 上述拉格朗日和克希荷夫应力表示的平衡条件都是以初始位形作参考的物质描述。 利用外和保守条件、欧拉应利用拉格朗日应力表达，可将欧拉应力的边界条件改写为 利用克希荷夫应力和拉格朗日应力的关系，可将平衡条件改为 如果考虑到变形梯度和位移梯度间的关系， 对比小变形情况，可见大变形时变形对平衡的影响，是通过变形或位移梯度表现出来的。 则克希荷夫应力表达的平衡方程 可改为 设现时位形微小虚位移在V内单值连续、在位移边界上为零。则外力总虚功为 考虑到位移边界虚位移为零和应力边界条件 有限元分析需要用虚位移原理，为此首先讨论空间描述的虚位移原理。 将平衡方程引入，考虑到虚位移微小，则 利用格林公式，可得 也即虚位移原理的虚功方程为 若虚位移用虚速度、虚应变用虚应变率代替，则 柯西应变 虚功率方程 为建立物质描述虚功方程，先讨论能量共轭关系。 空间描述中 又因为 变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率 单位体积变形功率 因此克希荷夫应力和格林应变在能