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为满足矩阵运算的矩阵 1-4传递函数矩阵 一、传递函数矩阵 经典控制理论中，传递函数是系统初始松驰条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。 若给出系统的状态空间表达式，如何求传递函数？ 分析：等式两边同时进行拉普拉斯变换，得到 设 其中，为 维向量，为 维向量输入，为 维向量输出 其中，x(0)为系统初态，整理可得： SISO系统 MIMO系统 其中： 例1.4.1系统状态空间表达式如下： 解：由题可得： SISO系统： 二. 传递函数矩阵的零极点 ——既约有理函数 定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。 极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为?的那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为? 的那些s值。 对MIMO系统，则要复杂得多。 （1）G(s)的所有非零子式的首一最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。 （2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。 例1.4.2： MIMO系统：(方便计算的定义) （1）求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素； G(s)的二阶子式为 （2）求零点（上边的2阶子式以p(s)为分母，则有） 分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为1。 1 2 2 1 即 从而 考虑系统： 取线性非奇异变换： ， 矩阵P非奇异 一.状态向量的线性变换: 1-5 系统动态方程的等价变换 整理得： 其中： * 例1.5.1 考虑系统 取变换： * 状态空间表达式变为： 说明： 等价变换保持系统的传递函数矩阵不变。 等价变换保持系统的特征多项式，特征值不变。 二.关于坐标变换矩阵与基底变换的进一步说明 以三维空间为例 设旧基 新基 任意向量 则 新基在旧基下的坐标 基底变换矩阵: 由 得 及 的坐标变换矩阵: 注:特别地， 为自然基，则 为新基底 中变换矩阵的本质： 基底变换矩阵；新基底 例2.系统状态空间表达式如下： 解：由题可得： 即 把 表为 的一个多项式， 对于 A 的特征值 为两两相异的情况， 可按下式计算。 2.8 线性系统在坐标变换下的特性 结论8 坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。 坐标变换的几何含义和代数表征 线性时不变系统状态空间描述为 引入坐标变换 则变换后系统的状态空间描述为 1/3,45/50 结论9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。 定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。 代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。 2/3,46/50 结论10 线性时变系统在坐标变换下的特性 对线性时变系统 引入坐标变换 P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为 3/3,47/50 结论7 G(s)的实用计算关系式 令 则 4/4,44/50 分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。 几点讨论： （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例 （2）由定义可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性” （3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。 （4）若s=?是G(s)的零点，则必有 但不一定rankG(s= ?)rankG(s). 如： G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。 注：不可简约矩阵分式描述