数形结合中易犯错误.docVIP

中学生运用数形结合常见的错误剖析 数形结合思想是数学中一种重要的思想方法，它具有直观.快速的特点，因而倍受师生青睐; 但是它同时也是一把解题的双刃剑，华罗庚教授曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微|， 数形结合的直观性往往导致我们忽视精确计算，快速又往往让我们忽略了问题的严密性，这也是学生利用数形结合思想解题时易错的地方，本文借如下几个列子加以说明 一 对图形的准确认识是我们运用数形结合思想解题的前提，有很多同学就是对这个前提认识不足而导致解题错误， 主要表现在以下几个方面 1 对图形的精确性认识不够 在数形结合中我们仅由大致图像的关系很容易得出错误结论，同时也常犯以偏概全的错误 例1　方程x2=2x的解的个数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 错解　在同一坐标系内作出函数y=x2和y=2x的 图像.如下左图所示,它们有两个交点.故选C. 剖析　此题由于所作的草图粗糙而导致误判. 事实上,当x0时,两图像显然有且只有一个交点; 当x0时,考察函数y=x2和y=2x的增长“速度”的变 化,如下右图,可知道它们有两个交点,即点(2,4)和点 (4,16).故选D. 左 右 例2函数y二sinx与y=tanx的图象在（ ）上的交点个数为( ) A4 B3 C.2 D1 错解在同一直角坐标系中作出作函数y=sinx图像与y=tanx的图如图1，由图选（B） . 剖析上述选项是错误的，错在哪里? 原来在（0， ）内，tanxsinx，即在(0, )内y=sinx与y=tanx是无交点的，同理可知在(一，0)内图象也无交点，而作图时忽视了这一点，出现错图正确的图象应是图2，故选（D） 2画图不完整（对图形整体性考虑欠缺） 例3若f(x)为奇函数，且在(一co，0)内是增函数，又f(一2)=0，则xf(x)0的解集为（ ） 错解据题设条件作出函数f(x)在(一co，0)内的大致图象如图1，从而数形结合直观地得出答案为(一2，0). . 图1 图2 剖析：此题错在没有将函数f(x)在R上的完整图象，正解应为先作出函数f(x)在(一co，0)内的大致图象，因f(x)为奇函数，由对称性(奇函数的图象关于原点对称)得出f(x)在(0，十co)上的图象如图2，从而数形结合直观地得出答案为(一2，0)U(0，2) 3图形的存在性 在利用数形结合法解题时往往只注意形与形之间的大致位置关系而没有对它的存在性进行考察，从而导致了失误。 例4 抛物线x2= 8y与圆x2+ (y-a)2= 9有公共点,求a的范围. 错解 由于圆半径为3,圆心为(0,a),图象如下图所示. (1)当圆与抛物线外切时a= - 3; (2)当圆与抛物线内切时,由x2= 8y,x2+ (y-a)2= 9,消去x得y2+ (8 - 2a)y+a2- 9= 0,由Δ= 0得(8 - 2a)2- 4(a2- 9) = 0,所以a=25/8,由数形结合得-3≤a≤25/8时有公共点. 错因 当a=25/8时,y2+(8-2a)y+2-9=0有两个负根与实际情况不符.与圆关联的问题一般都转化到圆心与曲线上点的距离与半径比较 . 正解：设抛物线上任意一点P(x,y)(x≥0)到圆心(0,a)的距离为d,则d的最小值 小于3时的a即为所求. d2=x2+(y-a)2=8y+y2-2ay+a2= (y-a+ 4)2+ 8a- 16, 由y≥0得 (1)当a-4≤0即a≤4时,y=0,d= 丨a 丨≤3,则- 3≤a≤3; (2)当a- 4 0即a 4时,d2min= 8a - 16≤9,即a25、8.与a 4矛盾. 综上所述-3≤a≤3 4考虑图形不完备 利用数形结合解题时，有时符合题意的图形不止一个，作图中极易出现只作出自己熟悉的图形，从而导致考虑不周全，作图不完备 例5　解关于x的不等式（a0） 错解　如下图（左）,在同一坐标系内,分别作半 分析：　错解在作图时,受椭圆中长半轴长a影响,默认a 0,遗漏了a 0的情形.当a 0时, 如图（右）,原不等式的解集为 . 二：对“数”的认识不够 “数|与”“形“转化是借助一些基本的知识和方法才能实现，若在转化中对一些基本概念认识不够也极易出错 已知△ABC的面积9/4,则角A =___.| 错解：由条件有 分析　这是一道 基础题,但出错率却相 当高.根本原因是想当然地将与的