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第三章 效用、损失和风险 (Utility,Loss and Risk) 本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184 §3—1 效用的定义和公理系统 一、引言 ·为什么要引入效用 决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示； 后果价值待定： 以效用度量。 1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量； 2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。 例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。 例二： 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品,即 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。 * 除风险偏好之外，还时间偏好。 i, 折扣率 ii,其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数). Daniel Bernoulli 在1738年指出： 若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。 二、效用的定义 1.符号 i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A不劣于B A～B(即AIB) A无差别于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=(…… ) 既考虑各种后果 (consequence) 又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量 若 ? ( ; ) 则称 确定性后果 为抽奖 ( ; ) 的确定当量 2.效用的定义(A) 在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p ,  iff u()≥u() 则称u为效用函数 三、效用存在性公理 理性行为公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 则  or ? or  ·公理2 传递性 (Transitivity) p, 若, 则  ·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若p,  且 0 ? ? ? 1 则 对任何∈p ,必有 ?+(1-?) ?+(1-?) 或者表达成：,??? 则 ?+(1-?)  ?+(1-?) 即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。 ·公理4 连续性公理 ---- 偏好的有界性 若  则 存在 0???1, 0???1, ??? 使 ?+(1-?)   ?+(1-?) 由 ?+(1-?)  可知 不是无穷劣,即 u()??? 由  ?+(1-?) 可知 不是无穷优, 即 u()? ? 即使是死亡，亦不至于无穷劣 例：i,过马路 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii,狂犬病疫苗 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然. 例：Allais 悖论（Paradox 〕 例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答 Savage的回答是A组宁择i， B组宁择ii， Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。 Savage当时语塞。 ·效用的公理化定义 在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使 i, ? 当且仅当 u() ＞u() ii. u(α, ; 1-α, )