第五讲 矩阵特征值与特征向量.pdfVIP

考研基础复习线性代数 五讲 矩阵特征值与特征向量 一、 阵的特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的概念 定义1 设方阵A (aij )nn ，若有数l 和非零的n维向量X ，使 AX lX (5.1) 成立，则称数l 为A 的特征值，称向量X 为矩阵A 的对应于l 的特征向量. 又若Ann 是一个不可逆矩阵，则方程组AX 0 有非零解X 0 ，即AX 0 0 0 X 0 .故不 可逆矩阵必有零特征值l 0 . 对一般的方阵A 而言，AX lX 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A 不 容易直接看出它的特征值和特征向量。为此，将(5.1)变形为： (lI A)X 0 (5.2) 则齐次线性方程组(5.2)有非零解的充要条件是 lI A 0 记 l a a L a 11 12 1n a l a L a f (l ) lI A 21 22 2 n M M M M a a L l a n 1 n 2 nn ln b ln1 L b l b (5.3) 1 n1 n 称f (l) lI A 为矩阵A 的特征多项式.因f (l) 是一个n 次多项式，它在复数域内必有n 个 根，它们就是矩阵A 的全部特征值，即n 阶方阵A 在复数域内有n 个特征值。 定理 设n 阶方阵A (a ) 的n 个特征值为l ,l ,L,l 则 ij nn 1 2 n （1 ）l l Ll A (5.4) 1 2 n （2 ）l l L l a a L a (5.5) 1 2 n 11 2