函数极限的εδ定义.PDF

函數極限的ε,δ 定義 令   f x x 。 這是一個大家都十分熟悉的函數，且我們不難察覺到當x 0時，它的極限 是0。然而，在「正式地」考慮它的極限時，我們使用了一項嚴謹的定義：   lim f x L 表示：對意的ε 0，皆有對應的正數 使得 x c 若   0  x c  ，則必有f x L  。  初次看到這類「繁雜」的敘述時，我們難免對它感到困惑。為什麼如此明顯 的「現象」 ，我們卻要這樣抽象地把它弄成這麼不友善的文字？   f x 0 我們可以從根本的問題著手：當我們說當x 0 ，會有 時，我們只 是感受到那樣的趨勢罷了，但我們並沒有把那樣的感受傳達出去。也許反方會 說：那樣的趨勢「一看就明白了」 ，但是在靠近時，並沒有任何一個函數值是明 確的0，我們又從何點出這樣的趨近關係？ 然而，嚴謹的定義正是把我們的直觀與觀察，或是想表達的描述寫成文字罷 了。也許我們這才恍然大悟：深藏彼此心中的直觀原來這麼複雜！ 換個角度思索：事實上，並不是每個函數對任一點的趨近情形都很容易觀察 （甚至函數的樣貌就即充滿神祕）。例如： x  x t x 1  1 x     x e t dt e(x) : (1 ) , E x x ,  , 0 x  k  k  : x   x x f x , f x :     2 S x  sin sin sin tdt   0 k ! !