2008年河南高考理科数学较难题及答案.docVIP

2008年高考理科数学（必修+选修Ⅰ） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则； （Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 18．（本小题满分12分） 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小． 18．解：（1）取中点，连接交于点， ，， 又面面，面， ． ， ，，即， 面，． （2）在面内过点作的垂线，垂足为． ，，面，， 则即为所求二面角的平面角． ，，， ，则， ，即二面角的大小． 19．（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 19. 解：（1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得： 20．（本小题满分12分） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望． 解：（Ⅰ）对于甲： 次数 1 2 3 4 5 概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 对于乙： 次数 2 3 4 概率 0.4 0.4 0.2 ． （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为 21．（本小题满分12分） 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设，， 由勾股定理可得： 得：，， 由倍角公式，解得,则离心率． （Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有 将数值代入，有,解得 故所求得双曲线方程为：． 22．（本小题满分12分） 设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：． 22. 设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：． 22.解析：（Ⅰ）证明：,,当时， 故函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当时，， 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立； （ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立. （Ⅲ）证明：由．可得 若存在某满足，则由⑵知： 若对任意都有，则 ，即成立. 18题图 C D E A B