2013年新宁一中高一年级数学竞赛试题答案.docVIP

2013年新宁一中高一年级数学竞赛试题参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每题6分，共36分） 1、设，集合，则（ ） A、1 B、 C、2 D、 2、已知函数，若，则实数a的值等于（ ） A、 B、 C、1 D、3 3、已知锐角满足，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 4、已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A、 B、 C、 D、 5、设，则M与N的大小关系是（ ） A、MN B、M=N C、MN D、无法判断 6、（理）如图，在直角梯形ABCD中， 动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动，设 ，则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 （文）设满足约束条件，则的最大值为（ ） A、25 B、 C、 D、80 序 号 1 2 3 4 5 6（理） 6（文） 答 案 C A C B C A D 二、填空题（本大题共8小题，每题6分，共48分） 7、若，则实数a的取值范围是 8、当时，函数的值域是 9、某四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面的面积中最大值为 10、如果x和y都是非零实数，且和，那么 11、已知两点到直线的距离分别为1，3，则满足条件的直线的条数是 12、如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1， 与间的距离是2，正的三个顶点分别在上，则 的面积是 13、(理)设函数的最大值为M，最小值为m,则M+m= （文）函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为a,则a= 14、设为函数图像上一动点 （1）的最小值为 （2）记，则当m最小时，P点的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，共66分） 15、（本小题12分） 已知函数，其中，其中，若函数f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 （1）求的取值范围 （2）在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，，当最大时，，求的面积 解：（1），因为0,所以函数f(x)的周期 由题意可知，，即 6分 （2），由余弦定理得：又b+c=3 12分 16、（本小题12分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点。 （1）求证： （2）求证： （3）求三棱锥的体积 解：(1) 4分 （2）连接交于O点，连接OD，则OD是三角形的中位线 8分 （3） 12分 17、（本小题14分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线的下方 (1)求圆M的方程 (2)设，若圆M是的内切圆，求的面积S的最大值和最小值 解：设圆心M(a,0),由已知得点M到直线l:8x-6y-3=0的距离为 又点M在直线l的下方，， 故圆M的方程为 6分 （2）设直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，则直线AC的方程为，直线BC的方程为 由方程组， 因为圆M与AC相切，，同理， 14分 18、（本小题14分）（理）已知，集合，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列 （1）令，求数列的前n项和 （2）求 （文）等比数列的各项均为正数，且 （1）求数列的通项公式 （2）设求数列的前n项和 解：（理科） （文科） （1） 6分 （2） 9分 12分 14分 19、（本小题14分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足下列三条性质：①对任意的，总有；②f(1)=1；③若，则有成立。解答下列各题 (1)求f(0)的值 (2)函数在[0,1]上是否同时满足①②③? (3)假定存在，使得且，求证： 解：（1） 4分 (2) 5分