2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 74 基本不等式.doc

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：7.4　基本不等式 一、选择题 1．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是(　　) A.　　 　　B．1　　 　　C．4　　 　　D．8 解析：由a＞0，b＞0，ln(a＋b)＝0，得 故＋＝＝≥＝＝4. 当且仅当a＝b＝时，上式取等号. 答案：C 2．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．9 D．16 解析：(x＋y)＝1＋·a＋＋a. x＞0，y＞0，a＞0， 1＋＋＋a≥1＋a＋2. 由9≤1＋a＋2，得a＋2－8≥0， (＋4)(－2)≥0. a＞0，≥2，a≥4，a的最小值为4. 答案：B 3．已知函数f(x)＝lg的值域为R，则m的取值范围是(　　) A．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－4] 解析：设g(x)＝5x＋＋m，由题意g(x)的图像与x轴有交点，而5x＋≥4，故m≤－4，故选D. 答案：D 4．当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为(　　) A．3 B．5 C．1 D．7 解析：方法一：由x＋3y－2＝0，得3y＝－x＋2. 3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1 ＝3x＋＋1 ≥2 ＋1＝7. 当且仅当3x＝，即3x＝3，即x＝1时取得等号． 方法二：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝7. 答案：D 5．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：2xy＝x·(2y)≤2， 原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. 又x＞0，y＞0，x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号． 答案：B 6．(2013·苍山调研)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x＋3y＝lg2. x＋3y＝1，＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4. 答案：C 二、填空题 7．设x、y∈R，且xy≠0，则的最小值为__________． 解析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9. 当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立. 答案：9 8．(2013·台州调研)若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为__________． 解析：ab－4a－b＋1＝0， b＝，ab＝4a＋b－1. (a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1 ＝6a＋·2＋1 ＝6a＋＋1 ＝6a＋8＋＋1 ＝6(a－1)＋＋15. a＞1，a－1＞0. 原式＝6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27. 当且仅当(a－1)2＝1，即a＝2时等号成立． 最小值为27. 答案：27 9．(2013·聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v＞0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v＝__________千米/小时． 解析：v＞0， y＝≤＝≈11.08， 当且仅当v＝，即v＝40千米/小时时取等号. 答案：40 三、解答题 10．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1. 求证：＋＋≥36. 解析：x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1， ＋＋＝(x＋y＋z)＝14＋＋＋≥14＋2 ＋2 ＋2·＝14＋4＋6＋12＝36. 当且仅当x2＝y2＝z2， 即x＝，y＝，z＝时等号成立． ＋＋≥36. 11某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽． 解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m， 中间的矩形区域面积为S m2， 则半圆的周长为 m. 操场周长为400 m，所以2x＋2×＝400， 即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜)． S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝. 由解得 当且仅当时等号成立． 即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时，矩形区域面积最大． 12．已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0. (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解析：(1)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy. 2＋5≤x＋y＋5＝3xy. 3xy－2－5≥0. (＋1)(3－5)≥0. ≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y. 此时x＝y＝，故xy的最小值是. (2)方法一