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一道高考数列题的四种解法 澄江一中 普翠平 数列的解答题目高考勤制度中常常可以从多种角度多种思路求解,很灵活.下面以一道高考数列题为例,析几种都求解策略。 题目　已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≧2),证明： 利用累加法证明 形如an-an-1=f(n),（其中f(n)是易求和数列）适合此法。 证明：∵an=3n-1+an-1 ∴ an-an-1=3n-1 an-1-an-2=3n-2 …… a3-a2=32 a2-a1=31 n-1个式子相加： an- a１＝31＋32…＋3n-1＝ ∵a1=1 ∴an =+1 ∴an = 直接构造等比数列法 把原等式等价变形为an+KAn=B(an-1+KAn-1)类，求an。 证明：∵an=3n-1+an-1 ∴an+k3n=an-1+k·3n-1 由待定系数法知: K=- ∴an-=an-1- ∴数列{ an-}是以a1-=1-=-为首项,公比为1的等比数列 ∴{ an-}=-(1)n-1 ∴an= 简接构造等比数列法 原等式变形为Aan=Ban-1+C(A,B,C为常数)，再转化为等比数列。 证明：∵an=3n-1+an-1 ∴an=an-1+3n-1 等式两边同除以3n得: ∴ ∴ 由待定系数法知: L= ∴原等式可变形为: ∴ ∴数列是以为首项,公比为的等比数列。 ∴ ∴an= 四、数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法。数列中的项与自然数有关，很显然数学归纳法也就成了证明数列命题目的行之有效的方法之一。 证明：（1）当n=1时，a1=,由已知a1=1, ∴等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即ak= 当n=k+1时，由递推公式知： ∴ ∴ 也就是说当n=k+1时等式也成立。 由（1）、（2）知对任意的n∈N+等式成立 ∴ 这个高考题的四种解法给我们余音绕梁、回味无穷之感。前三种解法为我们展示了数列通项公式的三种求法，第四种方法如果题目改为求an，也就可以成为数列中“计算→归纳→猜想→证明”类的题型。从这一高考题也可以知道数列题目的灵活多变、高考数列题目的博大精深。要很好掌握数列的通项公式的求法，必须深刻理解等差数列、等比数列的定义。因为高考题中的等差、等比不管是“显性”还是“隐性”是无处不在的。这也是这道高考题给我们的启示。