2013届淮安市高三摸底数学试卷答案(定稿).doc

淮安市2012—2013学年度高三年级第一次调查测试 数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分 一、填空题： 1． 2．2 3． 6 4．4 5．5 6．2 7． 8． 　　　9．6 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题： 15．(1) 因为向量，，且∥， 所以 ………………………………………………………………2分 由正弦定理，得 …………4分 即，所以， ………………………………………6分 因为，所以； …………………………………………………………8分 (2) 因为 …12分 而，所以函数的值域为……………………14分 16．（1）因为在直三棱柱中，所以平面, 因为平面，所以， 又，,所以平面, 因为，所以 ……………4分 又因为，所以是正方形，所以， 又，所以平面， ……………………………………8分 (2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中，∥， ………………………………………………12分平面，平面，所以∥平面， ………14分 17．（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元， 则， 即，……………………………………………4分 由，解得，……………………………6分 而，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．…………………8分 （2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润为 ，……………………………12分 而，当且仅当时等号成立． 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大，…………………14分 18．（1）因为，，，……………………………2分 解得， 所以椭圆方程为． ………………………………………………………4分 （2）①由，解得 ，…………………………………………6分 由 得 ， ……………………………………………………8分 所以，所以．……………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则 因为，故， 当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：， 由，得， 所以， ………………………………………………………………12分 同理可得 （将中的换成可得）………………………14分 ，， 当与的斜率有一个不存在时，可得，…………15分 故满足条件的定圆方程为：．…………………………………………16分 19．（1）因为，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且， 当时，由，解得，……………………………………………2分 当时，由，解得；………………………………4分 由，知，两式相减得 ，即，………………5分 亦即，从而，再次相减得 ，又，所以 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为 ．……………………………………………………………8分 （2）由（1）可得，，……10分 若对恒成立， 只需对恒成立， 因为对恒成立，所以；…………………………………12分 （3）若成等差数列，其中为正整数，则成等差数列， 整理得，………………………………………………………………………14分 当时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立， 所以满足条件的值为．……………………………………………………16分 20．（1）因为，所以，…………………………………2分 由，且，得，由，且，，…………………4分 所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 所以当时，取得最大值；………………………………………………………6分 （2）因为对一切恒成立， 即对一切恒成立， 亦即对一切恒成立，…………………………………………8分 设，因为， 故在上递减，在上递增， ， 所以． …………………………………………………………………………10分 （3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解， 由（1）知，在时，，…………………………………………12分 而函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，，…………………………………………………………14分 故方程恰有一解当且仅当， 即． …………………………………………………………………………16分 数学Ⅱ部分 21．【选做题】 A．（选修4-l：几何证明选讲） 连接BC设相交于点，， AB是线段CD的垂直平分线， 所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°…………………………………………………2分 则，．由射影定理得， 即有，解得（舍）或…………………………………………8分 ，即．………………………………10分 B．（选修4—2：矩阵与变换） 的一个特征值是3， 设， 则，解得，所以，…………………………5分 设直线上任一点在M