1.3.1函数的单调性与导数(2011.2.26).pptVIP

* * * 单调性的定义 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 注： 函数的单调性是对某个区间而言的，这个区间是定义域的子集。 o y x y o x 1 o y x 1 在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。 在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。 在(－ ∞,＋∞)上是增函数 根据下列函数图象指出每个函数的单调区间 函数的单调性与其导函数正负的关系： 一般地, 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内， 如果 则f(x)在这个区间内为增函数； 如果, 则f(x)在这个区间内为减函数． 如果在某个区间内恒有 , 则函数y=f(x)为常数函数。. 归纳升华 例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 解: (1) ∵函数的定义域为R, 因此, 函数 在 上单调递增. (2)函数的定义域为R 例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 解: (3) 因为 , 所以 因此, 函数 在 上单调递减. (4)函数的定义域为R, 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减. 根据导数确定函数单调区间的一般步骤： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数f′ (x). 3.解不等式f ′(x)0; 解不等式f′(x)0. 4.下结论（写出函数单调区间. ） 典型题目： 类型一：求函数的单调区间. 典型题目： 类型二：已知函数单调性求参数的取值范围. 请同学们见导学教程P13.例3 练习P26 3.讨论二次函数 的单调区间. 解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 练习 4.求证: 函数 在 内是减函数. 解: 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数. 思考： 一、求参数的取值范围 增例2：求参数 解：由已知得 因为函数在（0，1]上单调递增 增例2： 在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 增例2： 本题用到一个重要的转化： *