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最省用工方案的数学模型 摘要：本文中聘用公司A为节约成本，在与B劳务公司签订劳务合同时提出“最省用工方案准则”，即以节省最多为准则，以求使所付款最小。从B劳务公司提供的用工促销方案（计价为日工资）可以看出，B公司提供多种优惠模式，一个职位也可以参加多种优惠活动，因此可建立0-1变量，当时表示第个职位不能参加模式的优惠方案，当时表示第个职位能参加模式的优惠方案。而对于使总的费用最少，则建立单目标线性规划模型，运用LINGO软件求的最优解。 对于问题一，建立所求问题数学模型的一般形式，编写出LINGO程序，程序具有可扩展性，当B公司改变了模式优惠条件后，也能在A公司提出聘任数量时，直接从模型中得到最优的组合方案。 对于问题二，已经知道了A公司的聘任数量，可直接代入问题一中所建立的数学模型，通过把问题一的LINGO程序具体化，进而求得按“表一”职位情况和公司聘任数量时的最优组合方式，此时付款的总额@@@,优惠额度。 关键字：0-1规划模型 线性规划 LINGO 最优解方案 方案的扩展性 一、问题重述 现实生活中，A公司为了节约成本，在和B劳务公司签订劳务合同，提出“最省用工方案准则”，即同时满足多个节省方案时，以节省最多为准则。目前B劳务公司提供，1种主管职位，5种装配工职位，7种维修工职位。 B劳务公司提供用工促销方案如下（计价为日工资）： 1). 主模式1：1个主管+任选1个装配工或维修工优惠20元 2). 主模式2：1个主管+任选2个装配工或维修工（可以1个装配工，1个维修工）优惠40元 注：优惠的意思是：如单聘任，总价为各单项的和，参加模式后，付款为总价减去优惠款。 3). 70元两人：付70元可以聘任参加“70元两人活动职位”中的两人 4). 100元两人：付100元可以聘任参加“100元两人活动职位”中的两人 5). 维修工第二人半价：第一人原价，第二人半价（两人价格不一样时，只能价格低的享受半价，高的是原价，两人可以相同）。 举例如下： 如A公司聘任了1个主管职位（190元），1个维修工“职位6”（60元），1个装配工“职位1”（45元）。 不优惠的总价：190+60+45=295（元） 1）组合1：主??式1（含维修工“职位6”）+1个装配工“职位1”，付款：（190+45）-20+60=275（元） 2）组合2：主模式1（含维修工“职位6”）+1个装配工“职位1”，付款：（190+60）-20+45=275（元） 3）组合3：主模式2（含维修工“职位6”，装配工“职位1”），付款：（190+45+60）-40=255（元） 4)组合4：主管职位+70元两件（含维修工“职位6”，装配工“职位1”），付款：190+70=260（元） 根据“最省用工方案准则”，A公司只需按最优组合“组合3”付款，付255元，获得所有方案中的最省用工方案。 问题1: 为了帮助B公司实现“最省用工方案准则”，请你给出解决该问题的一般数学模型，在A公司提出聘任数量时，就能按要求给出最优组合方案。你的方案最好具有一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，系统也能自动计算最优组合。如果职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题应该怎样解决？ 问题2: 按 “表一”[附录一]职位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优惠额度（每日），并提供最优组合明细。 二、问题的分析与建模的思路 问题一： 问题要求给出解决该问题的一般数学模型，并且是方案具有良好的扩展性，在聘任人数、价格、模式修改后，系统会自动调整，计算并得到最优组合。由于B劳务公司中各个职位所参加的模式和优惠活动都不完全相同，因此可引入0-1变量，当职位不参加模式的优惠活动时，；当职位可以参加模式的优惠活动时。即： 从题目中可以看出，每个职位可以参加多种优惠活动，但A公司只能用一种模式聘用该职位的员工。因为要求得付款最小的方案，有题知，所付款的原价不会随模式的改变而改变，它只与职位的日工资和所聘任的人数有关，所以可计算出初款，可认为初款是一个静止的量，要使最终付款最小，则使优惠的金额最大,最终的付款数目则为：,由此建立单目标的线性规划数学模型，借助LINGO进行求解。 问题二： 在问题二中，B劳务公司给出了职位和促销活动的种类，A公司也给出了所聘任的人数，该问题比较具体。问题二也是问题一的一种具体情况，因此可以运用问题一中所编写的LINGO程序，带入具体数值进行求解。 三、模型假设 （1）、假设B劳务公司每个职位的员工人数均能满足A公司的需求 （2）、假设A公司 四、符号说明 …………………………………………….…………………….第个职位所需的人数 ……………………………………………………………………...第个职位的日工资