弹性力学讲义-第2章(b)概要.ppt

弹性力学讲义 ;第二章 平面问题的基本理论;;§2-1 平面应力问题与平面应变问题 ;应力、应变和位移 ;应力、应变和位移 ;平面应力问题 ; 只有平面应力分量存在 ， ， ，且仅为x，y 的函数的弹性力学问题。;平面应变问题 ;;平面应变问题 ;平面应变问题 ;平面应变问题—— 只有平面应变分量存在 ， ， ， 且仅为x，y 的函数的弹性力学问题。;平面问题思考题：;§2-2 平衡微分方程 ;§2-2 平衡微分方程 ;平均正应力或切应力的增量;静力平衡微分方程公式推导;静力平衡微分方程公式推导;过中心C平行z轴列力矩的平衡方程 ： ;§2-2 平衡微分方程 ;以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程 ;以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程 ;对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点： 平衡微分方程表示任一点(x, y) 的平衡条件，(x, y) 属于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。 式(2-2)第一式中所有的各项都是x 向的力，第二式均是y 向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。 在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。 平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。;5. 对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。 6. 由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程 (2-2) 中含有3个应力未知函数。 7. 弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。 ;(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为 试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。 ;解：;§2-4 几何方程 刚体位移 ;;;试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。;;;;;;;;;§2-5 物理方程 ;§2-5 物理方程 ;§2-5 物理方程 ;§2-5 物理方程 ;思考题：;§2-3 平面问题中一点的应力状态;设 AB 的长度为 ds PB 的长度为 lds PA 的长度为 mds;正应力 ;斜面上的切应力 ; 设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向(即主应力的方向)称为P点的一个应力主向。;主应力 ;b.主应力方向计算 ;; 的最大为1，最小0;c.求最大、最小切应力计算 ;最大、最小切应力;问题： 平面问题中， (a)已知一点的应力为 ，那么任一方向的正应力?n为 ?n 为 ; （b）已知 那么 ;§2-6 边界条件 ;边界条件 弹性力学问题分为位移边界问题 应力边界问题 混合边界问题;§2-6 边界条件 ;§2-6 边界条件 ;;;;;（2-1） 试列出图1所示问题的边界条件。 ;（2-2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受P力的作用（或均布拉应力作用），其余边界上均无面力作用。试证明凸角A点处为零应力状态。 ;§2-7 圣维南原理 ;;;;圣维南原理应用举例;（c）;圣维南原理应用举例;例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？;例题;§2-8 按位移求解平面问题;§2-8 按位移求解平面问题;;;;平面应力问题;§2-8 按位移求解平面问题; ;平面应力问题;平面应变问题;;边界条件;关于位移求解平面问题的特点;;;变形协调方程或相容方程 ;将 对 y 偏导数两次， 将 对 x 偏导数两次， 将 分别对 x 和 y 偏导数两次;变形协调方程或相容方程(Saint-Venant) ;;对于多连通物体：我们总可作适当 的截面使它变成单连通物体，则上述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则在此被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位移分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体，则必须加上补充条件。;例题 ;;将平面应力问题物理方程代入相容方程;将平衡微分方程写成 ;? ;平面应变问题;? ;§2-10 常体力的情况下的简化 应力函数;;;若设函数 f = f (x，y)，则有;;;;; 逆解法——就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数Φ,再求出