必修2第二章第3节圆的方程.docVIP

年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标B版 课程标题 必修2第二章第3节圆的方程 编稿老师 蔡秀梅 一校 黄楠 二校 林卉 审核 孙永涛 一、学习目标： 1、了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程。 2、掌握用待定系数法求圆的方程。 3、掌握圆的标准方程与一般方程的互化。 4、体会求轨迹方程的方法与思想。 二、重点、难点： 重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程。 难点：根据已知条件求圆的方程。 三、考点分析： 本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查。 1、圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。 2、圆的标准方程 以为圆心，（）为半径的圆的标准方程： 3、圆的一般方程：（），圆心坐标为（），半径为。特别地，当时，表示点；当时，不表示任何图形。 4、点与圆的位置关系 已知点 则 ；；。 知识点一：上的圆的方程。 （2）求圆心在直线l：上，且与坐标轴相切的圆的方程。 【分析】 解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ的垂直平分线方程，与直线的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标。 （2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径。 【】， 则有，解得：， 所以， 所以所求圆的方程为。 解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为，由已知圆心也在直线：上，所以由方程组解得圆心坐标为（1，－2）， 以下解法同解法一。 （2）设圆心为，因为圆与坐标轴相切，所以，圆心在已知直线上，所以有，所以，解得， 当时，＝4，所求圆的方程为； 当时，＝1，所求圆的方程为。 【题后思考例【分析】 解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果。 【】，因为A、B、C三点在圆上， 所以有，解此方程组得：， 所求圆的方程为。 【题后思考】本 例关于直线对称的圆的方程。 （2）求方程表示圆的充要条件。 【分析】 解题思路：（1）得关于的不等式，解不等式即可。 【】（1），所以圆心的坐标为，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，则有 ，解得， 所以所求圆的方程为。 （2）∵ 或。 【题后思考的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是。 【小结】。 知识点：分析 解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO、MA的长。 【】），由已知，，， 两边平方并整理得：， 所以动点M的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆。 【题后思考】）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可。 例，E为线段BD的中点，求点E的轨迹方程。 【思路分析，故可知点E的轨迹是以原点为圆心的圆。 解题思路：（1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D的坐标。 （2）由图形可得OE为△ADB的【】，点，因为E为线段BD的中点，所以有 ， ，， 即，整理得：。 解法二：连接OE，则OE为△ADB的中位线，所以， 由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆，方程为。 【题后思考】本满足方程， 求：（1）的最大值和最小值； （2）的最大值和最小值； （3）的最大值和最小值。 【分析】的几何意义，用数形结合的方法来解决。 解题思路：的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；的几何意义为设，则表示直线在轴上的截距；的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方。 【】表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，则切线的斜率分别为0和，所以的最大值为，最小值为0。 （2）设，则表示直线在轴上的截距，作圆的两条斜率为的切线，这两条切线的截距分别为2和6，所以的最大值为6，最小值为2。 （3）表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为2，所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，所以的最大值为9，最小值为1。 【题后思考本题是圆上的点到原点的距离。 例上两点满足：①关于直线 对称；②，求直线的方程。 【分析】关于直线对称可知圆心在这条直线上，故斜率的值可求，进而由。 解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程。 【】由关于直线对称可知圆心在这条直线上，所以有， 解得，则直线的斜率为，设P点坐标为，Q点坐标为，直线的方程为， 代入圆的方程整理得：， 所以 ， ，所以 解得或，经检验，成立。 所以所求直线PQ的方程为或。 【题后思考本题是解此类型题常用的结论；求出的值后