必修1第三章第1节指数与指数函数.docVIP

年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标B版 课程标题 必修1第三章第1节指数与指数函数 编稿老师 丁学锋 一校 黄楠 二校 林卉 审核 吴华斌 一、学习目标： 1. 掌2. 能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质。 3. 掌握对指数函数性质的灵活应用。 二、重点、难点： 重点：指数函数的概念和性质以及对指数函数性质的理解与应用。 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质以及对指数函数性质的具体应用。 三、考点分析： 这部分内容在高考中往往以基础知识的考查为主，例如数值的计算、函数值的求法、数值的大小比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题进行考查。 1. 根式 ⑴一般地，如果，那么叫做a的次方根（），当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的次方根记为；当为偶数时，正数的次方根有两个，可用符号±表示，其中叫根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数。 ⑵当为奇数时，；当为偶数时，。 2. 分数指数幂 ⑴我们规定正数的正分数指数幂的意义是：； ⑵正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 ； ⑶0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义3. 有理数指数幂⑴ ⑵ ⑶ 4. 指数函数及其性质 ⑴一般地，函数y＝ax（a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 ⑵一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图象 性质 （1）定义域为（－∞，＋∞）；值域为（0，＋∞） （2）过点（0，1），即x＝0时，y＝a0＝1 （3）若x＞0，则ax＞1； 若x＜0，则0＜ax＜1 （3）若x＞0，则0＜ax＜1； 若x＜0，则ax＞1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数 知识点一：与指数有关的运算 例1. 计算或化简下列各式（式子中的字母均为正数） ⑴； ⑵； ⑶； ⑷。 【思路分析】 题意分析：⑴对n取正奇数或正偶数进行分类讨论；⑵对于指数幂的运算，要灵活运用性质和法则依次进行计算，⑶和⑷可先把根式化为分数指数幂，再依据运算性质进行化简。 解题过程：⑴， 当n为正偶数时，， 当n为正。 综上，。 ⑵原式＝ 。 ⑶原式＝ 。 ⑷原式＝ 【题后思考】①对根式的化简易忽视的取值范围及的奇偶性，当条件中没有明确指出时，应根据需要进行分类讨论。 ②一般地，进行含有根式指数幂的运算时，应化根式为分数指数，化负数为正数，化小数为分数，以便于进行乘除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的。 ③对于计算的结果，如果题目有特殊要求，要根据要求写出结果，一般不要求统一用什么形式来表达，但最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 例2. 比较的大小。 【思路分析】 题意分析：因为根指数都不相同，故应先化为统一的根指数，再进行比较。 解题过程：， . 又， 。 综上可知，。 【题后思考】①底数不同，根指数也不同的两个数比较大小，要先化为同底数或化为同指数后再作比较。 ②比较过程主要运用性质：若。 例3. 已知。 【思路分析】 题意分析：由于，将已知式子平方后，即可求出的值.同样，将平方后即可求出的值。也可由求的值，进而解之。 解题过程：解法一： 。 解法二：⑴由，即，两边同乘以，得 。 ⑵由⑴。 【题后思考】解法一注重已知条件与所求问题之间的内在联系，灵活运用整体思想解决问题，简化了运算过程。解法二较直接，要求代数式的值需先求a的值，故由已知等式可求得，使问题迎刃而解。 知识点二：指数函数及其性质的应用 例. 函数是指数函数，则的值为。 【思路分析】题意分析：根据指数函数的定义解之可得。 解题过程：由是指数函数，，解得 。 答案：2。例. 指数型函数恒过定点。 【思路分析】 题意分析：利用指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）恒过定点（0，1）的性质求解。 解题过程：原函数可变形为，将y－3看做x－3的指数函数， 所以，恒过定点（3，4）。 的图象恒过点（0，1）例比⑴； ⑵与1； ⑶。 【思路分析】 题意分析：因为是两个指数幂比较大小，故解答本题时可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较。 解题过程：（1）观察函数.上是减函数，又。 （2）。上是减函数。 又。 （3）先观察函数。上是减函数。又－2＜0，所以，。 再观察函数.上是增函数.又 。 综上可知，。 【题后思考】比较幂的大小的常用方法： ①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 ②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规