直线与椭圆讲课.docVIP

椭圆及性质 一、知识回顾 1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____． 2．写出椭圆的标准方程 焦点在x轴上时是_________________．焦点在y轴上时是_________________． 3．到两定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离的和等于4的动点M的轨迹方程是___________. 4．椭圆的几何性质 5.椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 3．直线与椭圆相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 则弦长公式为： d====。 焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。 二、知识应用 （一）．求椭圆的标准方程 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】　(1)设椭圆方程为＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)．由已知得2a＝6，a＝3. 又e＝＝，c＝2.b2＝a2－c2＝9－4＝5. 椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由题意知焦点在x轴上， 故可设椭圆的标准方程为＋＝1(ab0)，且两焦点为F′(－3,0)，F(3,0)．如图所示，A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，c＝b＝3. a2＝b2＋c2＝18.所求椭圆的标准方程为＋＝1.2　本例中，(1)中条件“长轴长是6”改为“短轴长为8”； (2)中焦距是“6”改为“8”．结果如何？ 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)． 由已知得e＝＝，2b＝8， ＝＝，b2＝80.a2＝144. 所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(ab0)．如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，c＝b＝4，a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1. 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求a，c，再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a、b、c的关系，构造关于e的方程，再求解．注意e的范围：0e1. 1过椭圆＋＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　) A.　　　B. C. D. 【解析】　由题意知点P的坐标为(－c，)或(－c，－)，F1PF2＝60°， ＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)． e2＋2e－＝0，e＝或e＝－F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率． 解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示． 由AF1AF2知AF1F2为直角三角形，且AF2F1＝60°. 由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在RtAF1F2中，由AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)·c，所以离心率e＝＝－1. ，、是其长轴的两个端点，如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围． 解。设，则，． 由于对称性，不妨设，于是是到的角． ∴ ∵， ∴整理得 ∵∴ ∵， ∴∵， ∴ ， ∴， ∴或（舍），∴． 5 已知椭圆的离心率，求的值 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得． 当椭圆的焦点在轴上时，，，得． 由，得，即． ∴满足条件的或． 6已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关． 解：(法1)设椭圆方程为（），，，，， 则，．在中，由余弦定理得 ，解得． (1)∵，∴，即． ∴．故椭圆离心率的取范围是． (2)将代入得，即． ∴． 即的面积只与椭圆的短轴长有关． 7．已知椭圆＋＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是解析：选D.如图，由于BFx轴，故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，＝2，(－a，t)＝2. a＝2c，＝. 1．直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围联立直线与椭圆方程，由判别式Δ0，可得－13m13.与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围 解法一：由可得， 即 解法二：直线恒过