第5章 希望的曙光.ppt

主讲： 张跃辉 朝阳师专数学计算机系 欧洲黑暗时代以后，第一位有影响的数学家是斐波那契(Fibonacci, 1170~1250)，他早年就随其父亲在北非从师阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利写成《算盘书》(Abaci, 1202)，这部著名的著作主要是古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度-阿拉伯数码，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程，以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的“孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是，书中系统介绍了印度数码，影响了欧洲数学面貌。《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。 兔子问题 递归数列的求和出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册． 5.2.3 韦达与符号代数 比利时人罗芒乌斯（Adrianus Romanus, 1561~1615）曾经在其《数学思想》（1593）中提出一个求解45次方程问题，比利时大使夸口法国无人能解答而向法国国王亨瑞四世提出了挑战。韦达被亨瑞四世召见解答此方程，他发现代数方程与三角学的潜在联系，以sinA表示sin45A，若令x = sinA, 这样就得到关于x 的45次方程，从而很快解答了罗芒乌斯的问题。几分钟内就给出了两个根，后来又求出21个根，但没有考虑负根。反过来，韦达也向罗芒乌斯提出了挑战，看谁能解古希腊的阿波罗尼斯所提出的“作一个圆与三个给定圆相切”的问题，韦达顺利地以欧几里得几何作工具求出了解，而罗芒乌斯却百思不得其解，当罗芒乌斯得知韦达的天才解法后，十分敬佩，专程长途跋涉拜访韦达，两人从此结下深厚友谊。 在法国与西班牙的战争中，韦达成功地破译了西班牙人的军事密码，使得法国人对西班牙的军事行动了如指掌，掌握了战争的主动，赢得了胜利。于是西班牙国王菲力普二世向教皇控告法国在战争中对西班牙施用了魔法，这是“与基督教信仰的惯例相违背的”。更为荒谬的是，西班牙宗教裁判所在韦达缺席的情况下，竟以背叛上帝的罪名判处韦达以焚烧致死的极刑。 《分析方法引论》被公认是一部最早的符号代数的著作，在这部著作中，韦达不仅用字母表示未知量和乘幂，而且还用来表示一般的系数。通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁语表示各次方幂。他用统一的符号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写方法，在使得代数学形成国际通用的独立的语言方面发挥了巨大的作用。 由于采用了先进的代数符号系统，很快地，韦达在当时代数研究的中心问题——方程论方面取得了杰出的成就。他改进了意大利数学家关于三、四次方程的解法，利用变换消去方程的高次项，将二、三和四次方程的解都用一般表达式给出，即公式解。开拓了利用函数来研究高次代数方程的新途径，具有重要的理论价值。 韦达提出了揭示整式方程的根与系数之间的关系的著名定理——韦达定理。不过韦达仅就n=2，3等几种特殊情况得出了结论，并没有给出n次议程的韦达定理的一般证明。 韦大农业关于代数符号体系的伟大设想与实践，对于代数学的发展无疑是一座重要的里程碑，它使得代数学的面貌发生了根本的变化。 然而，当时大多数数学家并没有马上体会到符号体系对代数发展的巨大作用，他们依旧我行我素，不过，随着迅速发展的科学技术对数学家们提出的问题日益复杂，使得人们不得不对韦达的工作刮目相看，他们为韦达精湛的思想所折服。 韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德(Oughtred,英国数学家，1575~1660）的《实用分析术》所继承，灵活地加以运用，特别是通过后者的著作使采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, …）表示已知量，后几个（x, y, z, w, …）表示未知量，成为今天的习惯，他改变了韦达的做法，毫无区别地采用文字系数。韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加。这一障碍随着笛卡儿解析几何的诞生也得到消除。 到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问题具有一般性。不过当时随意引入的符号太多，我们今天所使用的符号，实际是这些符号经过长期淘汰后剩下来的。现部分列出文艺复兴时期出现的缩写代数符号