第2讲 Jordan标准形.ppt

第二讲 Jordan标准形 上节内容回顾 方阵相似的定义 相似矩阵的性质 自反性 对称性 传递性 保秩性 行列式相等 矩阵函数相似 特征多项式、特征值相同 上节内容回顾（Continue） 方阵可对角化的定义 方阵可对角化的充要条件 Jordan标准形 方阵化为对角形是有条件的 退一步，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。 定义 Jordan块 称形如 的矩阵为 阶Jordan块 Jordan标准形（Continue） Jordan矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵 称为Jordan矩阵 Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线：1：Jordan; 0：Diagonal 有的教科书上定义下对角线全为1的、其余元素为0的下三角阵为Jordan块，它们之间是转置关系 Jordan块本身就是一个分块数为1的Jordan矩阵 对角阵是一个特殊的Jordan矩阵：其每个Jordan块都是1阶的 Jordan标准形（Continue） 注意：Jordan矩阵上对角线并不全是1 Jordan标准形（Continue） 方阵A与Jordan矩阵相似的基本定理（定理1.9） 设 ，则A与一个Jordan矩阵J相似。即 ，使得 对此Jordan矩阵J，除其Jordan块的排列次序外，由矩阵A唯一确定，称 J 为A的Jordan标准形 注意： A的Jordan标准形的主对角线元素就是A的特征值 在Jordan标准形中，不同Jordan块的主对角线元素可能相同，因此，不能通过Jordan块的阶数，判断此Jordan块对应的特征值的代数重数。 Jordan标准形（Continue） 化方阵A为Jordan标准形 方法一：特征向量法 设 如果 是A的单重特征值 在A的Jordan矩阵中构造一个1阶的Jordan块 如果 是A的 重特征值 有k个线性无关的特征向量 或者 此方法适用于以下能唯一确定 Jordan块的特殊情形： ： 个1阶的约当块，实际上是一个对角块 Jordan标准形（Continue） 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(P10) Jordan标准形（Continue） 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(2) Jordan标准形（Continue） 方法二：初等变换法 多项式矩阵（ λ矩阵） 元素都是λ的多项式，称为多项式矩阵或λ -矩阵 多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似 多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似 由 经有限次初等变换得到 Jordan标准形（Continue） 多项式矩阵的Smith标准型 可通过有限次初等变换化为 其中 都是首一多项式，且 ：多项式 整除 由 唯一确定，称之为 的Smith标准形 等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形 方阵的特征矩阵 是一个特殊的多项式矩阵 Jordan标准形（Continue） 不变因子 称 的Smith标准形中非零的对角线元素 为 的不变因子 初等因子 将次数大于0的不变因子 分解为互不相同的一次因式的幂的乘积（在复数域内，这样的分解是可能的） 称 为 的一个初等因子 不变因子和初等因子的性质 多项式矩阵经过