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2018-03-09 发布于河南
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微积分在教学中的应用4.doc

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微积分在教学中的应用4

2.6实际应用问题例12 如图2-1平地上有一条水沟,沟沿是两条长100m的平行线段,沟宽为2m,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直,沟深1.5m,沟中水深1m。 (1)求水面宽； (2)现在要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟,沟的底面与地面平行,两腰分别与抛物线相切,改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少？图1-1 图1-2 图1-3 解 (1) 如图1-3建立直角坐标系。设抛物线方程为,则由抛物线过点(1,32),可得a =。于是抛物线方程为。当y =1时,x =±63.由此可以得到,水面宽为 (m)。 (2) 设切点为 (0≤1)是抛物线弧OB上的一点,过点作抛物线的切线，得如图1-3所示的直角梯形OCDE。由于, ，故切线CD的方程为,即于是，。设梯形的面积为的面积为,则==。由于0≤1，故=，当且仅当，即，时，等号成立，于是当时，取最小值，此时所挖的土最少。当时，可求得点的坐标为（），因此，要使所挖的土最少，改挖后的沟底的宽（2）必须为。总结综上所述，微积分的方法应用到中等数学的相关问题的构造与求解中，会起到意想不到的效果。尤其是在求解函数的单调性、最值、方程根的、不等式或恒等式的证明等。比用初等方法更简单，更实用。当然，微积分方法的有效使用 ,必须注意使用的前提条件。