7、教师版三角函数周期性(含答案).docVIP

考点六、三角函数周期性 （一）周期性的基本概念 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数、余弦函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 根据上述定义，可知： 正弦函数、余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)是它的周期，最小正周期是2π. 正切函数是周期函数，且周期T＝π （2）求三角函数的周期 1、定义法求函数的周期 1、 求下列函数的周期　 , 　 ． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使成立，同时考虑到正弦函数的周期是． 解：∵ , 即 ． ∴ 当自变量由增加到时，函数值重复出现，因此的周期是． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使 成立，同时考虑到正切函数的周期是． 解：∵ , 即．　 ∴ 函数的周期是． 注意：1、根据周期函数的定义，周期是使函数值重复出现的自变量的增加值， 如周期不是，而是； 2、是定义域内的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立． 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子出发，设法找出周期中的最小正数（须用反证法证明）． 2、求下列三角函数的周期： y=sin(x+) y=cos2x y=3sin(+) 3、 求函数f（x）=tan（2x+）的周期． 解：因为tan（2x+ +π）=tan（2x+） 即tan［2（x+）+］=tan（2x+） ∴tan（2x+）的周期是． 2、公式法求函数周期 对于函数或的周期公式是， 对于函数或的周期公式是． 1、 求函数的周期 解： ． 2．设的最小正周期是（　　　） 　　Ａ．　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．　　　Ｄ． 3．已知函数（＞０）的最小正周期是，则（　　　） 　　Ａ．３　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　Ｄ． 4．函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为 ( ) Ａ　 Ｂ　 Ｃ　 Ｄ 3、图像法 1、求下列函数的最小正周期 　　　①　　　　　　　　　　② 解：分别作出两个函数的图像知　 ①的周期②不是周期函数 评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决． 4、最小公倍数法　 1、设与是定义在公共集合上的两个三角周期函数，、分别是它们的周期，且，则的最小整周期是、的最小公倍数． 　　分数的最小公倍数＝ 1　求函数的最小整周期 解：设、的最小整周期分别为、， 则，，＝ ∴的最小整周期为 2 求函数的周期 解：∵ 的最小正周期是， 的最小正周期是． ∴ 函数的周期 ，把代入得 ，即， 因为为正整数且互质， 所以 ． 函数的周期． 3 求函数的周期 解： ∵ 的最小正周期是，的最小正周期是， 由， ， (为正整数且互质), 得 ． 所以 函数的周期是． 4、求函数的最小正周期 解：∵　＝　（） ∴　是函数的周期．显然中最小者是 下面证明是最小正周期 假设不是的最小正周期，则存在，使得： ＝对恒成立， 令，则＝　　① 但，∴　　②　 ∴　①与②矛盾，　　∴　假设不成立，∴是最小正周期． （二）一般函数的周期性 若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. 1、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 若函数，则是以为周期的周期函数 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 6、，则是以为周期的周期函数. 7、，则是以为周期的周期函数. 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。 10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数； 11、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数； 考点一、求函数值 1、f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x) ∴8是f