证明专题之圆.docVIP

证明专题之圆 一、在解决与圆有关的问题时，常用的作辅助线的方法： 1、作弦心距是常用的方法之一； 2、如果遇到直径，通常需要作出直径所对的圆周角，得到直角三角形； 3、如果遇到切线，通常需要连接过切点的半径，得到直角； 4、证明切线的两种方法：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径； 二、解决圆的综合问题时，常用的思考问题的方法： 1、证明切线时，要注意余角补角以及平行线性质的运用； 2、在求圆中有关线段的长度时，要结合勾股定理、三角函数和相似三角形的有关知识； 3、在解决多个问题的综合问题时，要多联系每个问题之间的练习，一般情况下，前面的问题都是为后面的问题打基础的； 4、如果已知条件中有相关线段的数据，要注意是否可以通过这些数据得到一些特殊角； 例题讲解 （一）切线的性质与判定 例1 （2011浙江温州）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，(1)求CD的长；(2)求BF的长． 中，．点是上的动点，以为直径的与交于点，过点作于点． （1）当是的中点时： ①的值为______________； ② 证明：是的切线； （2）试探究：能否与相切?若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 练习一 1、已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连结AB、AC。 （1）求证：AB=AC； （2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长。 2、（2011山东菏泽）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， (1)求证：△ABE∽△ADB；(2)求AB的长； (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． （1）求证：直线与⊙相切； （2）若，求⊙的直径. （二）圆与三角函数的结合 例1 已知：如图，以Rt△ABC的斜边AB为直 径作⊙O，D是⊙O上的点，且有AC=CD。过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，连结CD。 (1)试判断BE与CE是否互相垂直?请说明理由； (2)若CD=，tan∠DCE=，求⊙O的半径长。 例2 （四川省乐山市）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD是O的切线; (2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长 练习二 1、（2011株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C． （1）求证：OD⊥AC； （2）若AE=8，，求OD的长． 2、如图，在△ABC，，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且。 （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若，，求BC和BF的长。 3、（2011浙江省嘉兴）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径． (2011江苏南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s． ⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 1、如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O交于点，点是边的中点，连结． （1）求证：与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，，求． 2、（2011四川凉山州）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。 求证：是半圆的切线； 若，，求的长。 （2011四川广安）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证： AQ?PQ= OQ?BQ； （3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长 （2011贵州安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． ⑴求证：点D是AB的中点； ⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长． （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若AC=6