智能传感器第10章.ppt

　 第10章　小波分析及其在智能 　传感器系统中的应用 　　　　10.1 小波分析基础10.1.1 小波分析与短时Fourier变换　　1. Fourier变换　　对于f(t)∈L空间的能量信号f(t)， 即时间连续信号f(t)， 它的Fourier变换定义为 　　F(ω)的逆Fourier变换定义为 　　设f(t)由采样得到， 采样间隔为Δt， f(nΔt)(n=0, 1, …, N－1)为采样值， 对应的离散Fourier变换和逆Fourier变换为 　　2. 短时Fourier变换　　短时Fourier变换即时间信号加窗后的Fourier变换， 其定义为 　　这时， wbF(ω)给出了时间信号在时间窗 　　　　［t*+b－Δw, t*+b+Δw］ （10-8）的局部信息， 时间信号f(t)的加窗过程如图10-1所示。 图10-1 窗口Fourier变换 　　3. 小波分析　　如果把短时Fourier变换中的窗口函数wω, b(t)替代为ψa, b(t)， 其中： 对应于式（10-10）， 小波逆变换为 　　对于ψ(t)的一个典型的选择是： 图10-2 墨西哥帽函数图形 　　短时Fourier变换与小波变换之间的不同可由窗口函数的图形来说明， 如图10-3所示。对于wω, b， 不管ω值的大小， 具有同样的宽度。 相比之下， ψa, b在高频（1/a相当于Fourier变换中的ω， a越大， 频率越低）时很窄， 低频时很宽。 因此， 在很短暂的高频信号上， 小波变换能比窗口Fourier变换更好地进行“移近”观察。 图10-3 (a) 窗口Fourier变换函数wω, b的形状； (b) 小波ψa, b的形状 10.1.2 离散小波　　如果a，b都是离散值。 这时， 对于固定的伸缩步长a0≠0， 可选取a=am0, m∈Z， 不失一般性， 可假设a00或a00。 在m=0时， 取固定的b0(b00)整数倍离散化b， 选取b0使ψ(x－nb0)覆盖整个实轴。 选取a=am0, b=nb0am0， 其中m, n取遍整个整数域， 而a01， b00是固定的。于是， 相应的离散小波函数族为 10.1.3 小波级数　　对应于Fourier级数的定义： 　　同样可以定义小波级数： 10.1.4 多分辨分析　　1. 多分辨分析的概念　　如何由f(x)∈L2(R)出发， 使由fk, n(x)张成L2(R)的闭子空间 　　设f(x)生成一个多分辨分析{Vk}， 由于f(x)∈V0V1， 所以f (x)可以用V1的基底{f1, n: n∈ZZ}表示。 由于{f1, n: n∈ZZ}是V1的一个Riezz基， 所以存在唯一l2序列{pn}， 即离散的， 且其平方和为有限值的{pn}， 使 　　对于模为1的复数z， 引入如下记号 　　同样地， 由于ψ(x)∈W0 　V1， 所以存在唯一l2序列{qn}， 使 　　2. 分解算法与重构算法 由前所述可知， 对于f(x)∈L2(R)， 它有唯一分解： 令 　　对于符号G(z)、H(z)的序列{gn}， {hn}∈l1， 存在如下的分解关系式： 　　为计算方便及以免产生混淆， 有： 　　对于每个f(x)∈L2(R)， 固定N∈ZZ， 设fN是f在空间VN上的投影， 有： 　　　　　fN=projVNf 　　　　　　　 （10-33）可以把VN看做是“抽样空间”， 而把fN看做f在VN上的“数据”（或者说测量采样值）。 由于： 　　分解fk+1(x)=fk(x)+gk(x)， 得到： 分解过程如图10-4所示。 图10-4 分解过程 　　在实际计算中， 假定取值点所对应的f(x)的水平为N， 即　　　　　　　　　　　f(x)≈fN　　对于某个正数N(0≤M≤N)， 信号由N水平分解到N－M水平， 即已知{cN, n}， 求{dk, n}及{ck, n}，k=N－1, …, N－M。 　同样地， 固定k，由{ck, n}、{dk, n}求{ck+1, n}的算法称为重构算法。 应用两尺度关系有 　　因为fk(x)+gk(x)=fk+1(x)， 有 　　重构过程如图10-5所示。 图10-5 重构过程 10.1.5 小波包分析　　小波包分析是多分辨分析的推广， 它提供了更为丰富和精确的信号分析方法。 小波包元素是由三个参数来确定的一个波形， 这三个最基本的参数是： 位置、 尺度（与一般小波分解一样）和频率。 在正