《概率论与数理统计》第3章第5节 20120507.pptVIP

第一章 第三章 多维随机变量及其分布 §3.5 两个随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 (补充) 二、连续型随机变量 和 的分布 三、连续型随机变量极值的分布 一、离散型随机变量函数的分布 Y X 0 1 1/4 1/6 1/8 1/4 1/8 1/12 例1. 求 Z = X+Y 的分布律，已知 : 解: 1/12 ∴Z 的分布律为: Z = k 1/4 5/12 1/4 步骤: 1. 确定取值; 2. 合并概率. Z 可能取值为 0, 1, 2 和 3 . 一维 r.v. 例2. 设 X, Y 相互独立且 X ~ B(1, p), Y ~ B(1, p)(其中0p1). 求 M=max{X, Y }, N=min{X, Y} 的联合分布律、边缘分布律，并讨论 M, N是否独立？ 解: (应先求联合分布律) M 与N 的可能取值均为 0, 1. (独立性) 例2. 设 X, Y 相互独立且 X ~ B(1, p), Y ~ B(1, p)(其中0p1). 求 M=max{X, Y }, N=min{X, Y} 的联合分布律、边缘分布律，并讨论 M, N是否独立？ 解(续): ∴M 与N 的联合分布律为： P(M=i) (1- p)2 2p- p2 P(N=j) 1- p2 p2 N M 0 1 (1- p)2 2p(1- p) 0 p2 0 1 1 ∴M与N不独立. 定理 设(X, Y)是二维连续型随机变量, 其概率密度为 f(x, y). 则 X+Y 是连续型随机变量，且其概率密度为: 又若 X, Y 相互独立，则 卷积公式: 二、连续型随机变量 和 的分布 证明 例 3 证: (令 ) 同理可证： 的计算步骤: 1. 作 f(x, z-x) 非零区域图; 2. 参照1对参量 z 分情况讨论； 3. 参照1,2确定积分变量 x 的积分限; 4. 计算含参量 z 的定积分. (含参量 z 的参量积分) 例3. 设 (X, Y) 有概率密度： 求 Z = X + Y 的概率密度 fZ (z) . 解: 图形定限 z x 1 x = z x = z -1 1 0 或 z z 重要考点 图形定限 z x 1 x = z 1 0 例4. 设 X, Y 相互独立，且 X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，求 Z = X + Y 的概率密度 fZ (z) . 解: z z 定理 设X, Y是相互独立 的随机变量, 分布函数为FX(x),FY(y). 则 M = max{X, Y} 和 N = min{X, Y} 的分布函数分别为： 注:结论可推广至多个r.v., 若它们独立同分布则上式还可简化. 证: 三、连续型随机变量极值的分布 例5(p81例5). 设系统 L 由相互独立的子系统 L1, L2 连接而 成，设 L1, L2 的寿命 X, Y 的概率密度分别为： 求 (1)并联 (2)串联 (3)备用 连接方式下 L 的寿命 Z 的概率密度. 解: (1) 并联方式下 ∴ Z 的概率密度为： ∴ L1 L2 解: (2) 串联方式下 L1 L2 ∴ Z 的概率密度为： ∴ 例5(p81例5). 设系统 L 由相互独立的子系统 L1, L2 连接而 成，设 L1, L2 的寿命 X, Y 的概率密度分别为： 求 (1)并联 (2)串联 (3)备用 连接方式下 L 的寿命 Z 的概率密度. 解: (3) 备用方式下 ∴ Z 的概率密度为： L1 L2 (图形定限) 例5(p81例5). 设系统 L 由相互独立的子系统 L1, L2 连接而 成，设 L1, L2 的寿命 X, Y 的概率密度分别为： 求 (1)并联 (2)串联 (3)备用 连接方式下 L 的寿命 Z 的概率密度. 小结： §3.5 两个随机变量的函数的分布 * 离散型随机变量的函数的分布 * Z = X+Y : * M = max{X, Y}： N = min {X, Y}： 独立- 第三章 多维随机变量及其分布