整体微分几何初步习题答案.PDFVIP

《整体微分几何初步》习题答案 1 0.1 E3 中中中的的的曲曲曲线线线 1. 求下列曲线的弧长, 并写出弧长为参数的方程: (1) 双曲螺线x (a cosh t, a sinh t, bt); (2) 悬链面x (t, a cosh t , 0); a (3) 曳物线x (a cos t, a ln(sec t tan t) − a sin t, 0). ∫ t √ 2 2 解解解：：：(1) s(t) 0 a cosh 2t b dt; (2) s(t) a sinh t ; a (3) s(t) a ln sec t. 2. 证明一般参数下曲线x(t) 的曲率和挠率的计算公式是: |x′ × x′′ | ′ ′′ ′′′ (x , x , x ) k(t) ; τ(t) . ′ 3 ′ ′′ 2 |x | |x × x | ′ ds ′′ ds 2 d2 s ′ ′′ ds 3 证证证明明明：：：直接计算得x T · dt , x kN · ( dt ) T · dt2 . 所以x ×x kB · ( dt ) , ′′′ ds 3 ′ ′′ ′′′ ′ ′′ 2 k(t) 即得. 而x · B k · τ · ( dt ) , 所以(x , x , x ) τ · |x × x | . 3. 证明: 圆柱螺线的主法线与它的中心轴正交, 它的从法线与它的中心轴作 成定角, 它的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线. 1 √ 证证证明明明：：：设圆柱螺线为x(s) (r cos σs, r sin σs, aσs), 其中r, a, σ 2 2 为 r a 常数. 直接计算N(s) (− cos σs, − sin σs, 0), B(s) σ(a sin σs, −a cos σs, r), 中心轴为(0, 0, 1). 所以 N(s) · (0, 0, 1) 0, B(s) · (0, 0, 1) σr. 曲率中心 为x(s) 1 N(s) ((r − 1 ) cos σs, (r − 1 ) sin σs, aσs), 也是一个圆柱螺线. k(s) 2 2 σ r σ r 4. 设x(s)是单位球面上以弧长为参数的曲线, 证明: 存在向量e(s), f(s), g(s) 和   ˙