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第16单元　抛物线 一、内容黄金组 理解抛物线的定义、掌握抛物线的标准方程和几何性质． 二、要点大揭秘 关于抛物线的定义 抛物线的定义和椭圆、双曲线的第二定义是统一的：平面内到一个定点距离，和到定直线的距离之比，等于常数e的点的轨迹。当0＜e＜1时，是椭圆；当e=1时，是抛物线；当e＞1时，是双曲线。(定点不在定直线上) 一般地，若已知焦点、准线和离心率这三个中的两个时，可以考虑用第二定义解决问题。 2．关于抛物线标准方程 标准方程中，若一次项字母为x，则焦点在x轴上，若一次项字母为y，则焦点在y轴上；一次项的正负确定了抛物线的开口方向，和坐标轴的正负方向相对应，正对正，负对负。为便于掌握，上述两条可概括为“一次定轴；正负定向”。 抛物线的标准方程有四种类型，求标准方程时，需要定位条件，在定位的前提下，由于标准方程只有一个参数，所以只需一个独立条件便可求出方程。 3．方程的求法 求抛物线方程依然可以用定义法、待定系数法等常用方法。 4．解决抛物线问题，要善于运用定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离；要善于运用数形结合的思想方法观察、分析。 5．抛物线标准方程及几何性质 6．焦半径 连接抛物线上的点与焦点间的线段叫做抛物线的焦半径。 设M(x0,y0)是抛物线y2=2px上的一点,由点M到焦点F的距离等于到准线的距离，可得焦半径公式：。其它形式的抛物线方程，其焦半径公式类似可得。抛物线的焦半径公式不必死记硬背，应着重抓住定义，结合图形分析、掌握。 三、好题解给你 预习题 1. 抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程． （y2=-12x） 2．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别在点F1(2，0)和F2(0，2)，求它们的交点． 解： 所以它们的交点为A(0，0)，B(8，8)． 3. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值． 解：由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=8 4. 抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|=|x0+p/2| 5. 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求y1y2。 解：(1)当弦AB斜率k存在 ky2-2py-kp2=0．② 方程②的两根y1，y2分别为A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1·y2=-p2 (2)当弦AB斜率不存在时，AB∥y轴． 由抛物线定义知，y1=-y2=p，所以y1·y2=-p2． 综上可知：y1·y2=-p2． 基础题 例1．求焦点在直线l：3x-4y-12=0上的抛物线标准方程。 解 因为所求抛物线方程是标准方程，且焦点在直线l上，所以焦点必是l与坐标轴的交点。 由直线方程3x-4y-12=0，令x=0得y=-3；令y=0，得x=4， 则焦点为F1(0,-3)，F2(4,0)，且和，即p=6、8。 由题意，F1、F2分别对应开口向下和开口向右的抛物线。 因此所求抛物线方程为x2=-12y和y2=16x。 评注 抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，隐含着求抛物线标准方程的定位条件(焦点位置)和定形条件(p的取值)。 例2．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得的 分析：方程可能有两种形式，故用一般形式y2=2ax较好，求a的值正、负均可，否则在y2=2px中，易出现p＜0的误解． 解：设抛物线方程为y2=2ax． ∵△=[2(2-a)]2-4×4×1=4a2-16a＞0， ∴a＞4或a＜0。 设直线与抛物线交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)． ∴|a-2|=4，∴a=6或a=-2． 故所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x． 例3. (1)证明：设P(x0，y0)为抛物线y2=±2px或x2=±2py(p＞0) (2)设P为抛物线y2=-32x上一点，其横坐标为x0，焦点为F，求|PF|． 准线l，垂足为Q，由抛物线的定义可知：|PF|=|PQ|． 其他三种情况用抛物线定义类似证明． 解：(2) |PF|=8-x0． 应用题 例1. 一动圆M和直线x=3相切，且过点(-3,0)，求圆心M的轨迹方程。 解法一 设M(x,y)，由题意，圆心M到直线x=3的距离等于到点(-3,0)的距离，都等于圆M的半径，即，化简得，y2=-12x，即为圆心M的轨迹方程。 解法二 因为点M到定点(-3,0)的距离等于到定直线x=3的距离，所以点M的轨迹是以点(-3,0)为焦点，直线x=3为准线的抛物线，设其方程为y2=-2px(p＞0)。 由题意知，p=6，所以所求的抛物线方程为y2=-12x。 评注 解法一用直接法求抛物线方程