[工学]西南交通大学：理论力学 12.pptVIP

1 [例2] 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度? =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。 解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。 由定轴转动微分方程 根据质心运动微分方程，得 [例3] 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求：? 圆柱B下落时质心的加速度。 　　? 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条件下圆柱B的质心将上升。 选圆柱B为研究对象 ? ? 运动学关系： ? ? 解：选圆柱A为研究对象 由?、?式得： 代入?、?式得： 由动量矩定理： ? 补充运动学关系式： 代入?式，得 当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。 再取系统为研究对象 　　研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。 　　应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。 * §12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12–6 刚体的平面运动微分方程 *习题课 第十二章 动量矩定理 由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零， 质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和 质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运 动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相 对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴） 之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的 运动规律 　 §12-1　质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 设质点Q某瞬时动量为 mv，其对O点的位置为矢径r，如图12-1 所示，定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩； 定义指点动量mv在Oxy平面的投影（mv)xy对于点O的矩，为质 点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。分别表示如下 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O的主矩，即 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负，逆时针为正 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。单位：kg·ｍ2/s。 （12-1） （12-2） 从图可以看出，质点对于O点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。即上面的式（12-2） 2．质点系的动量矩 （12-3） 刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩；刚体作定轴转动则如图12-2所示： 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即 （12-4） 利用式（12-2），得 （12-5） 上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。 令 称为刚体对z轴的转动惯量，于是有 （12-6） 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积 图12-2 解： [例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。 §12-2　动量矩定理 1．质点的动量矩定理 式（12-7）表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为 因为 得 图12-3 对质点动量矩求一次导数，得 （12-8） （12-7） 式（12-9）表明质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为： 2．质点系的动量矩定理 n个方程相加，有 n个质点，由质点动量矩定理有 由于 于是 （12-9） （12-10） 3．动量矩守恒定理 作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，即 作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即 以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴